Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32976 / 32975
↖ ↑ ↗
← S  1.137010°
E  1.142578°		 ← 610.67 m → S  1.137010°
E  1.148071°		 →
↑
610.72 m
↓
↑
610.72 m
↓
S  1.142502°
E  1.142578°		 ← 610.67 m →
372 949 m²		 S  1.142502°
E  1.148071°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32976 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32975 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.503181457519531 y=0.503166198730469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.503181457519531 × 216)
    floor (0.503181457519531 × 65536)
    floor (32976.5)     		tx = 32976
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.503166198730469 × 216)
    floor (0.503166198730469 × 65536)
    floor (32975.5)     		ty = 32975
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32976 / 32975 ti = "16/32976/32975"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32976/32975.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32976 ÷ 216
    32976 ÷ 65536     		x = 0.503173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32975 ÷ 216
    32975 ÷ 65536     		y = 0.503158569335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.503173828125 × 2 - 1) × π
    0.00634765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.01994175
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.503158569335938 × 2 - 1) × π
    -0.006317138671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.0198458764427032
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01994175} λ = 0.01994175}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0198458764427032))-π/2
    2×atan(0.980349756655595)-π/2
    2×0.775475876484743-π/2
    1.55095175296949-1.57079632675     		φ = -0.01984457
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01994175} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.142578°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.01984457 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.137010°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32976 KachelY 32975 0.01994175 -0.01984457 1.142578 -1.137010
    Oben rechts KachelX + 1 32977 KachelY 32975 0.02003762 -0.01984457 1.148071 -1.137010
    Unten links KachelX 32976 KachelY + 1 32976 0.01994175 -0.01994043 1.142578 -1.142502
    Unten rechts KachelX + 1 32977 KachelY + 1 32976 0.02003762 -0.01994043 1.148071 -1.142502
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.01984457--0.01994043) × R
    9.58599999999997e-05 × 6371000     		dl = 610.724059999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.01984457--0.01994043) × R
    9.58599999999997e-05 × 6371000     		dr = 610.724059999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01994175-0.02003762) × cos(-0.01984457) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.999803102982503 × 6371000     		do = 610.66750770975m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01994175-0.02003762) × cos(-0.01994043) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.999801196213214 × 6371000     		du = 610.666343078388m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.01984457)-sin(-0.01994043))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999803102982503-0.999801196213214)×R²
    abs(0.02003762-0.01994175)×1.90676928835121e-06×R²
    9.58699999999979e-05×1.90676928835121e-06×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.90676928835121e-06×40589641000000     		ar = 372948.984269968m²