Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 330 / 74
↖ ↑ ↗
← N 77.767582°
E 52.031250°		 ← 16.565 km → N 77.767582°
E 52.734375°		 →
↑
16.665 km
↓
↑
16.665 km
↓
N 77.617709°
E 52.031250°		 ← 16.765 km →
277.730 km²		 N 77.617709°
E 52.734375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 330 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 74 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6455078125 y=0.1455078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6455078125 × 29)
    floor (0.6455078125 × 512)
    floor (330.5)     		tx = 330
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1455078125 × 29)
    floor (0.1455078125 × 512)
    floor (74.5)     		ty = 74
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 330 / 74 ti = "9/330/74"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/330/74.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 330 ÷ 29
    330 ÷ 512     		x = 0.64453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 74 ÷ 29
    74 ÷ 512     		y = 0.14453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.64453125 × 2 - 1) × π
    0.2890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.90811663
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14453125 × 2 - 1) × π
    0.7109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.23347602709766
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.90811663} λ = 0.90811663}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23347602709766))-π/2
    2×atan(9.33224891518146)-π/2
    2×1.46404834533796-π/2
    2.92809669067591-1.57079632675     		φ = 1.35730036
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.90811663} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 52.031250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35730036 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.767582°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 330 KachelY 74 0.90811663 1.35730036 52.031250 77.767582
    Oben rechts KachelX + 1 331 KachelY 74 0.92038847 1.35730036 52.734375 77.767582
    Unten links KachelX 330 KachelY + 1 75 0.90811663 1.35468458 52.031250 77.617709
    Unten rechts KachelX + 1 331 KachelY + 1 75 0.92038847 1.35468458 52.734375 77.617709
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35730036-1.35468458) × R
    0.00261577999999996 × 6371000     		dl = 16665.1343799997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35730036-1.35468458) × R
    0.00261577999999996 × 6371000     		dr = 16665.1343799997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.90811663-0.92038847) × cos(1.35730036) × R
    0.01227184 × 0.21187778260903 × 6371000     		do = 16565.4298083057m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.90811663-0.92038847) × cos(1.35468458) × R
    0.01227184 × 0.214433446605324 × 6371000     		du = 16765.2415678159m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35730036)-sin(1.35468458))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.21187778260903-0.214433446605324)×R²
    abs(0.92038847-0.90811663)×0.00255566399629489×R²
    0.01227184×0.00255566399629489×6371000²
    0.01227184×0.00255566399629489×40589641000000     		ar = 277730217.088933m²