Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33000 / 33000
↖ ↑ ↗
← S  1.274309°
E  1.274414°		 ← 610.70 m → S  1.274309°
E  1.279908°		 →
↑
610.66 m
↓
↑
610.66 m
↓
S  1.279801°
E  1.274414°		 ← 610.70 m →
372 930 m²		 S  1.279801°
E  1.279908°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33000 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33000 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.503547668457031 y=0.503547668457031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.503547668457031 × 216)
    floor (0.503547668457031 × 65536)
    floor (33000.5)     		tx = 33000
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.503547668457031 × 216)
    floor (0.503547668457031 × 65536)
    floor (33000.5)     		ty = 33000
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33000 / 33000 ti = "16/33000/33000"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33000/33000.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33000 ÷ 216
    33000 ÷ 65536     		x = 0.5035400390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33000 ÷ 216
    33000 ÷ 65536     		y = 0.5035400390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5035400390625 × 2 - 1) × π
    0.007080078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.02224272
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5035400390625 × 2 - 1) × π
    -0.007080078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0222427214237061
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02224272} λ = 0.02224272}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0222427214237061))-π/2
    2×atan(0.978002824002171)-π/2
    2×0.774277719600032-π/2
    1.54855543920006-1.57079632675     		φ = -0.02224089
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02224272} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.274414°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02224089 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.274309°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33000 KachelY 33000 0.02224272 -0.02224089 1.274414 -1.274309
    Oben rechts KachelX + 1 33001 KachelY 33000 0.02233860 -0.02224089 1.279908 -1.274309
    Unten links KachelX 33000 KachelY + 1 33001 0.02224272 -0.02233674 1.274414 -1.279801
    Unten rechts KachelX + 1 33001 KachelY + 1 33001 0.02233860 -0.02233674 1.279908 -1.279801
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02224089--0.02233674) × R
    9.58500000000015e-05 × 6371000     		dl = 610.66035000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02224089--0.02233674) × R
    9.58500000000015e-05 × 6371000     		dr = 610.66035000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02224272-0.02233860) × cos(-0.02224089) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.999752681601075 × 6371000     		do = 610.700405189983m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02224272-0.02233860) × cos(-0.02233674) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.999750545395043 × 6371000     		du = 610.699100285366m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02224089)-sin(-0.02233674))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999752681601075-0.999750545395043)×R²
    abs(0.02233860-0.02224272)×2.13620603195519e-06×R²
    9.58799999999996e-05×2.13620603195519e-06×6371000²
    9.58799999999996e-05×2.13620603195519e-06×40589641000000     		ar = 372930.125037235m²