Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33030 / 33022
↖ ↑ ↗
← S  1.395126°
E  1.439209°		 ← 610.61 m → S  1.395126°
E  1.444702°		 →
↑
610.60 m
↓
↑
610.60 m
↓
S  1.400617°
E  1.439209°		 ← 610.61 m →
372 834 m²		 S  1.400617°
E  1.444702°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33030 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33022 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.504005432128906 y=0.503883361816406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.504005432128906 × 216)
    floor (0.504005432128906 × 65536)
    floor (33030.5)     		tx = 33030
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.503883361816406 × 216)
    floor (0.503883361816406 × 65536)
    floor (33022.5)     		ty = 33022
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33030 / 33022 ti = "16/33030/33022"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33030/33022.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33030 ÷ 216
    33030 ÷ 65536     		x = 0.503997802734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33022 ÷ 216
    33022 ÷ 65536     		y = 0.503875732421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.503997802734375 × 2 - 1) × π
    0.00799560546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.02511894
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.503875732421875 × 2 - 1) × π
    -0.00775146484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0243519450069885
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02511894} λ = 0.02511894}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0243519450069885))-π/2
    2×atan(0.975942171333828)-π/2
    2×0.773223394142477-π/2
    1.54644678828495-1.57079632675     		φ = -0.02434954
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02511894} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.439209°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02434954 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.395126°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33030 KachelY 33022 0.02511894 -0.02434954 1.439209 -1.395126
    Oben rechts KachelX + 1 33031 KachelY 33022 0.02521481 -0.02434954 1.444702 -1.395126
    Unten links KachelX 33030 KachelY + 1 33023 0.02511894 -0.02444538 1.439209 -1.400617
    Unten rechts KachelX + 1 33031 KachelY + 1 33023 0.02521481 -0.02444538 1.444702 -1.400617
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02434954--0.02444538) × R
    9.58399999999998e-05 × 6371000     		dl = 610.596639999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02434954--0.02444538) × R
    9.58399999999998e-05 × 6371000     		dr = 610.596639999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02511894-0.02521481) × cos(-0.02434954) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.99970356459771 × 6371000     		do = 610.606710881695m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02511894-0.02521481) × cos(-0.02444538) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.999701226577106 × 6371000     		du = 610.605282847304m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02434954)-sin(-0.02444538))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99970356459771-0.999701226577106)×R²
    abs(0.02521481-0.02511894)×2.33802060378707e-06×R²
    9.58700000000014e-05×2.33802060378707e-06×6371000²
    9.58700000000014e-05×2.33802060378707e-06×40589641000000     		ar = 372833.970334697m²