Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 33040 / 33008
↖ ↑ ↗
← S  1.318243°
E  1.494140°		 ← 610.69 m → S  1.318243°
E  1.499634°		 →
↑
610.66 m
↓
↑
610.66 m
↓
S  1.323735°
E  1.494140°		 ← 610.69 m →
372 924 m²		 S  1.323735°
E  1.499634°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33040 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33008 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.504158020019531 y=0.503669738769531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.504158020019531 × 216)
    floor (0.504158020019531 × 65536)
    floor (33040.5)     		tx = 33040
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.503669738769531 × 216)
    floor (0.503669738769531 × 65536)
    floor (33008.5)     		ty = 33008
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33040 / 33008 ti = "16/33040/33008"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33040/33008.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33040 ÷ 216
    33040 ÷ 65536     		x = 0.504150390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33008 ÷ 216
    33008 ÷ 65536     		y = 0.503662109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.504150390625 × 2 - 1) × π
    0.00830078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.02607767
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.503662109375 × 2 - 1) × π
    -0.00732421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.023009711817627
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02607767} λ = 0.02607767}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.023009711817627))-π/2
    2×atan(0.977252992824348)-π/2
    2×0.773894322555879-π/2
    1.54778864511176-1.57079632675     		φ = -0.02300768
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02607767} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.494140°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02300768 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.318243°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33040 KachelY 33008 0.02607767 -0.02300768 1.494140 -1.318243
    Oben rechts KachelX + 1 33041 KachelY 33008 0.02617355 -0.02300768 1.499634 -1.318243
    Unten links KachelX 33040 KachelY + 1 33009 0.02607767 -0.02310353 1.494140 -1.323735
    Unten rechts KachelX + 1 33041 KachelY + 1 33009 0.02617355 -0.02310353 1.499634 -1.323735
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02300768--0.02310353) × R
    9.58500000000015e-05 × 6371000     		dl = 610.66035000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02300768--0.02310353) × R
    9.58500000000015e-05 × 6371000     		dr = 610.66035000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02607767-0.02617355) × cos(-0.02300768) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.999735335005926 × 6371000     		do = 610.689808996663m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02607767-0.02617355) × cos(-0.02310353) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.999733125321963 × 6371000     		du = 610.688459207944m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02300768)-sin(-0.02310353))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999735335005926-0.999733125321963)×R²
    abs(0.02617355-0.02607767)×2.20968396269505e-06×R²
    9.58799999999996e-05×2.20968396269505e-06×6371000²
    9.58799999999996e-05×2.20968396269505e-06×40589641000000     		ar = 372923.640657624m²