Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33040 / 33040
↖ ↑ ↗
← S  1.493971°
E  1.494140°		 ← 610.64 m → S  1.493971°
E  1.499634°		 →
↑
610.60 m
↓
↑
610.60 m
↓
S  1.499463°
E  1.494140°		 ← 610.64 m →
372 857 m²		 S  1.499463°
E  1.499634°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33040 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33040 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.504158020019531 y=0.504158020019531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.504158020019531 × 216)
    floor (0.504158020019531 × 65536)
    floor (33040.5)     		tx = 33040
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.504158020019531 × 216)
    floor (0.504158020019531 × 65536)
    floor (33040.5)     		ty = 33040
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33040 / 33040 ti = "16/33040/33040"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33040/33040.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33040 ÷ 216
    33040 ÷ 65536     		x = 0.504150390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33040 ÷ 216
    33040 ÷ 65536     		y = 0.504150390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.504150390625 × 2 - 1) × π
    0.00830078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.02607767
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.504150390625 × 2 - 1) × π
    -0.00830078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0260776733933105
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02607767} λ = 0.02607767}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0260776733933105))-π/2
    2×atan(0.9742594126352)-π/2
    2×0.772360804282319-π/2
    1.54472160856464-1.57079632675     		φ = -0.02607472
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02607767} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.494140°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02607472 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.493971°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33040 KachelY 33040 0.02607767 -0.02607472 1.494140 -1.493971
    Oben rechts KachelX + 1 33041 KachelY 33040 0.02617355 -0.02607472 1.499634 -1.493971
    Unten links KachelX 33040 KachelY + 1 33041 0.02607767 -0.02617056 1.494140 -1.499463
    Unten rechts KachelX + 1 33041 KachelY + 1 33041 0.02617355 -0.02617056 1.499634 -1.499463
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02607472--0.02617056) × R
    9.58399999999998e-05 × 6371000     		dl = 610.596639999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02607472--0.02617056) × R
    9.58399999999998e-05 × 6371000     		dr = 610.596639999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02607767-0.02617355) × cos(-0.02607472) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.999660073748516 × 6371000     		do = 610.643835546187m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02607767-0.02617355) × cos(-0.02617056) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.999657570439429 × 6371000     		du = 610.642306396127m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02607472)-sin(-0.02617056))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999660073748516-0.999657570439429)×R²
    abs(0.02617355-0.02607767)×2.50330908746488e-06×R²
    9.58799999999996e-05×2.50330908746488e-06×6371000²
    9.58799999999996e-05×2.50330908746488e-06×40589641000000     		ar = 372856.607659669m²