Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 33044 / 33044
↖ ↑ ↗
← S  1.515936°
E  1.516113°		 ← 610.57 m → S  1.515936°
E  1.521606°		 →
↑
610.60 m
↓
↑
610.60 m
↓
S  1.521428°
E  1.516113°		 ← 610.57 m →
372 814 m²		 S  1.521428°
E  1.521606°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33044 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33044 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.504219055175781 y=0.504219055175781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.504219055175781 × 216)
    floor (0.504219055175781 × 65536)
    floor (33044.5)     		tx = 33044
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.504219055175781 × 216)
    floor (0.504219055175781 × 65536)
    floor (33044.5)     		ty = 33044
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33044 / 33044 ti = "16/33044/33044"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33044/33044.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33044 ÷ 216
    33044 ÷ 65536     		x = 0.50421142578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33044 ÷ 216
    33044 ÷ 65536     		y = 0.50421142578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50421142578125 × 2 - 1) × π
    0.0084228515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.02646117
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.50421142578125 × 2 - 1) × π
    -0.0084228515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.026461168590271
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02646117} λ = 0.02646117}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.026461168590271))-π/2
    2×atan(0.973885860462171)-π/2
    2×0.772169122826823-π/2
    1.54433824565365-1.57079632675     		φ = -0.02645808
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02646117} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.516113°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02645808 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.515936°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33044 KachelY 33044 0.02646117 -0.02645808 1.516113 -1.515936
    Oben rechts KachelX + 1 33045 KachelY 33044 0.02655704 -0.02645808 1.521606 -1.515936
    Unten links KachelX 33044 KachelY + 1 33045 0.02646117 -0.02655392 1.516113 -1.521428
    Unten rechts KachelX + 1 33045 KachelY + 1 33045 0.02655704 -0.02655392 1.521606 -1.521428
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02645808--0.02655392) × R
    9.58400000000033e-05 × 6371000     		dl = 610.596640000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02645808--0.02655392) × R
    9.58400000000033e-05 × 6371000     		dr = 610.596640000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02646117-0.02655704) × cos(-0.02645808) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.999650005419297 × 6371000     		do = 610.573997590549m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02646117-0.02655704) × cos(-0.02655392) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.999647465381707 × 6371000     		du = 610.572446166654m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02645808)-sin(-0.02655392))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999650005419297-0.999647465381707)×R²
    abs(0.02655704-0.02646117)×2.54003758981547e-06×R²
    9.58700000000014e-05×2.54003758981547e-06×6371000²
    9.58700000000014e-05×2.54003758981547e-06×40589641000000     		ar = 372813.95803843m²