Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33056 / 32544
↖ ↑ ↗
← N  1.230374°
E  1.582031°		 ← 610.71 m → N  1.230374°
E  1.587525°		 →
↑
610.66 m
↓
↑
610.66 m
↓
N  1.224882°
E  1.582031°		 ← 610.71 m →
372 937 m²		 N  1.224882°
E  1.587525°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33056 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32544 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.504402160644531 y=0.496589660644531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.504402160644531 × 216)
    floor (0.504402160644531 × 65536)
    floor (33056.5)     		tx = 33056
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.496589660644531 × 216)
    floor (0.496589660644531 × 65536)
    floor (32544.5)     		ty = 32544
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33056 / 32544 ti = "16/33056/32544"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33056/32544.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33056 ÷ 216
    33056 ÷ 65536     		x = 0.50439453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32544 ÷ 216
    32544 ÷ 65536     		y = 0.49658203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50439453125 × 2 - 1) × π
    0.0087890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.02761165
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.49658203125 × 2 - 1) × π
    0.0068359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.0214757310297852
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02761165} λ = 0.02761165}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0214757310297852))-π/2
    2×atan(1.02170799423561)-π/2
    2×0.796135203610999-π/2
    1.592270407222-1.57079632675     		φ = 0.02147408
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02761165} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.582031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.02147408 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 1.230374°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33056 KachelY 32544 0.02761165 0.02147408 1.582031 1.230374
    Oben rechts KachelX + 1 33057 KachelY 32544 0.02770753 0.02147408 1.587525 1.230374
    Unten links KachelX 33056 KachelY + 1 32545 0.02761165 0.02137823 1.582031 1.224882
    Unten rechts KachelX + 1 33057 KachelY + 1 32545 0.02770753 0.02137823 1.587525 1.224882
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.02147408-0.02137823) × R
    9.5849999999998e-05 × 6371000     		dl = 610.660349999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.02147408-0.02137823) × R
    9.5849999999998e-05 × 6371000     		dr = 610.660349999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02761165-0.02770753) × cos(0.02147408) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.999769440804212 × 6371000     		do = 610.710642574023m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02761165-0.02770753) × cos(0.02137823) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.999771494344036 × 6371000     		du = 610.711896981864m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.02147408)-sin(0.02137823))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999769440804212-0.999771494344036)×R²
    abs(0.02770753-0.02761165)×2.05353982429823e-06×R²
    9.58799999999996e-05×2.05353982429823e-06×6371000²
    9.58799999999996e-05×2.05353982429823e-06×40589641000000     		ar = 372937.158037059m²