Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33088 / 32832
↖ ↑ ↗
← S  0.351560°
E  1.757813°		 ← 610.78 m → S  0.351560°
E  1.763306°		 →
↑
610.85 m
↓
↑
610.85 m
↓
S  0.357054°
E  1.757813°		 ← 610.78 m →
373 093 m²		 S  0.357054°
E  1.763306°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33088 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32832 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.504890441894531 y=0.500984191894531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.504890441894531 × 216)
    floor (0.504890441894531 × 65536)
    floor (33088.5)     		tx = 33088
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.500984191894531 × 216)
    floor (0.500984191894531 × 65536)
    floor (32832.5)     		ty = 32832
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33088 / 32832 ti = "16/33088/32832"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33088/32832.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33088 ÷ 216
    33088 ÷ 65536     		x = 0.5048828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32832 ÷ 216
    32832 ÷ 65536     		y = 0.5009765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5048828125 × 2 - 1) × π
    0.009765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.03067962
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5009765625 × 2 - 1) × π
    -0.001953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.00613592315136719
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.03067962} λ = 0.03067962}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.00613592315136719))-π/2
    2×atan(0.993882863181622)-π/2
    2×0.782330221072814-π/2
    1.56466044214563-1.57079632675     		φ = -0.00613588
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.03067962} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.757813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.00613588 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.351560°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33088 KachelY 32832 0.03067962 -0.00613588 1.757813 -0.351560
    Oben rechts KachelX + 1 33089 KachelY 32832 0.03077549 -0.00613588 1.763306 -0.351560
    Unten links KachelX 33088 KachelY + 1 32833 0.03067962 -0.00623176 1.757813 -0.357054
    Unten rechts KachelX + 1 33089 KachelY + 1 32833 0.03077549 -0.00623176 1.763306 -0.357054
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.00613588--0.00623176) × R
    9.58800000000004e-05 × 6371000     		dl = 610.851480000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.00613588--0.00623176) × R
    9.58800000000004e-05 × 6371000     		dr = 610.851480000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.03067962-0.03077549) × cos(-0.00613588) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.999981175547373 × 6371000     		do = 610.776272254545m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.03067962-0.03077549) × cos(-0.00623176) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.99998058264649 × 6371000     		du = 610.775910117937m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.00613588)-sin(-0.00623176))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999981175547373-0.99998058264649)×R²
    abs(0.03077549-0.03067962)×5.92900882612213e-07×R²
    9.58699999999979e-05×5.92900882612213e-07×6371000²
    9.58699999999979e-05×5.92900882612213e-07×40589641000000     		ar = 373093.479535554m²