Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33089 / 33089
↖ ↑ ↗
← S  1.763027°
E  1.763306°		 ← 610.50 m → S  1.763027°
E  1.768799°		 →
↑
610.53 m
↓
↑
610.53 m
↓
S  1.768518°
E  1.763306°		 ← 610.50 m →
372 729 m²		 S  1.768518°
E  1.768799°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33089 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33089 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.504905700683594 y=0.504905700683594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.504905700683594 × 216)
    floor (0.504905700683594 × 65536)
    floor (33089.5)     		tx = 33089
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.504905700683594 × 216)
    floor (0.504905700683594 × 65536)
    floor (33089.5)     		ty = 33089
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33089 / 33089 ti = "16/33089/33089"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33089/33089.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33089 ÷ 216
    33089 ÷ 65536     		x = 0.504898071289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33089 ÷ 216
    33089 ÷ 65536     		y = 0.504898071289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.504898071289062 × 2 - 1) × π
    0.009796142578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.03077549
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.504898071289062 × 2 - 1) × π
    -0.009796142578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.030775489556076
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.03077549} λ = 0.03077549}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.030775489556076))-π/2
    2×atan(0.969693254902318)-π/2
    2×0.77001284707881-π/2
    1.54002569415762-1.57079632675     		φ = -0.03077063
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.03077549} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.763306°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.03077063 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.763027°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33089 KachelY 33089 0.03077549 -0.03077063 1.763306 -1.763027
    Oben rechts KachelX + 1 33090 KachelY 33089 0.03087136 -0.03077063 1.768799 -1.763027
    Unten links KachelX 33089 KachelY + 1 33090 0.03077549 -0.03086646 1.763306 -1.768518
    Unten rechts KachelX + 1 33090 KachelY + 1 33090 0.03087136 -0.03086646 1.768799 -1.768518
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.03077063--0.03086646) × R
    9.58299999999981e-05 × 6371000     		dl = 610.532929999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.03077063--0.03086646) × R
    9.58299999999981e-05 × 6371000     		dr = 610.532929999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.03077549-0.03087136) × cos(-0.03077063) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.999526621517281 × 6371000     		do = 610.498636212183m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.03077549-0.03087136) × cos(-0.03086646) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.999523668643598 × 6371000     		du = 610.496832633051m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.03077063)-sin(-0.03086646))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999526621517281-0.999523668643598)×R²
    abs(0.03087136-0.03077549)×2.95287368301533e-06×R²
    9.58700000000014e-05×2.95287368301533e-06×6371000²
    9.58700000000014e-05×2.95287368301533e-06×40589641000000     		ar = 372728.970840637m²