Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 332 / 76
↖ ↑ ↗
← N 77.466029°
E 53.437500°		 ← 16.967 km → N 77.466029°
E 54.140625°		 →
↑
17.069 km
↓
↑
17.069 km
↓
N 77.312520°
E 53.437500°		 ← 17.172 km →
291.367 km²		 N 77.312520°
E 54.140625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 332 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6494140625 y=0.1494140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6494140625 × 29)
    floor (0.6494140625 × 512)
    floor (332.5)     		tx = 332
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1494140625 × 29)
    floor (0.1494140625 × 512)
    floor (76.5)     		ty = 76
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 332 / 76 ti = "9/332/76"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/332/76.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 332 ÷ 29
    332 ÷ 512     		x = 0.6484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76 ÷ 29
    76 ÷ 512     		y = 0.1484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6484375 × 2 - 1) × π
    0.296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.93266032
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1484375 × 2 - 1) × π
    0.703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.20893233449219
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.93266032} λ = 0.93266032}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20893233449219))-π/2
    2×atan(9.10598905076639)-π/2
    2×1.46141679107316-π/2
    2.92283358214632-1.57079632675     		φ = 1.35203726
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.93266032} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 53.437500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35203726 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.466029°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 332 KachelY 76 0.93266032 1.35203726 53.437500 77.466029
    Oben rechts KachelX + 1 333 KachelY 76 0.94493217 1.35203726 54.140625 77.466029
    Unten links KachelX 332 KachelY + 1 77 0.93266032 1.34935803 53.437500 77.312520
    Unten rechts KachelX + 1 333 KachelY + 1 77 0.94493217 1.34935803 54.140625 77.312520
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35203726-1.34935803) × R
    0.00267922999999981 × 6371000     		dl = 17069.3743299988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35203726-1.34935803) × R
    0.00267922999999981 × 6371000     		dr = 17069.3743299988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.93266032-0.94493217) × cos(1.35203726) × R
    0.01227185 × 0.217018431814494 × 6371000     		do = 16967.3596001298m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.93266032-0.94493217) × cos(1.34935803) × R
    0.01227185 × 0.219633027044924 × 6371000     		du = 17171.7789994987m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35203726)-sin(1.34935803))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.217018431814494-0.219633027044924)×R²
    abs(0.94493217-0.93266032)×0.00261459523042981×R²
    0.01227185×0.00261459523042981×6371000²
    0.01227185×0.00261459523042981×40589641000000     		ar = 291367042.3231m²