Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 3326 / 5374
↖ ↑ ↗
← S 48.864715°
W 33.837890°		 ← 3 214.53 m → S 48.864715°
W 33.793945°		 →
↑
3 213.60 m
↓
↑
3 213.60 m
↓
S 48.893615°
W 33.837890°		 ← 3 212.67 m →
10 327 208 m²		 S 48.893615°
W 33.793945°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3326 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5374 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.40606689453125 y=0.65606689453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.40606689453125 × 213)
    floor (0.40606689453125 × 8192)
    floor (3326.5)     		tx = 3326
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.65606689453125 × 213)
    floor (0.65606689453125 × 8192)
    floor (5374.5)     		ty = 5374
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3326 / 5374 ti = "13/3326/5374"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3326/5374.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3326 ÷ 213
    3326 ÷ 8192     		x = 0.406005859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5374 ÷ 213
    5374 ÷ 8192     		y = 0.656005859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.406005859375 × 2 - 1) × π
    -0.18798828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.59058260
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.656005859375 × 2 - 1) × π
    -0.31201171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.980213723430908
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59058260} λ = -0.59058260}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.980213723430908))-π/2
    2×atan(0.375230894646759)-π/2
    2×0.358973083085996-π/2
    0.717946166171992-1.57079632675     		φ = -0.85285016
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59058260} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.837890°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85285016 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.864715°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3326 KachelY 5374 -0.59058260 -0.85285016 -33.837890 -48.864715
    Oben rechts KachelX + 1 3327 KachelY 5374 -0.58981561 -0.85285016 -33.793945 -48.864715
    Unten links KachelX 3326 KachelY + 1 5375 -0.59058260 -0.85335457 -33.837890 -48.893615
    Unten rechts KachelX + 1 3327 KachelY + 1 5375 -0.58981561 -0.85335457 -33.793945 -48.893615
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85285016--0.85335457) × R
    0.000504410000000011 × 6371000     		dl = 3213.59611000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85285016--0.85335457) × R
    0.000504410000000011 × 6371000     		dr = 3213.59611000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59058260--0.58981561) × cos(-0.85285016) × R
    0.000766989999999912 × 0.657839198768838 × 6371000     		do = 3214.52683068253m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59058260--0.58981561) × cos(-0.85335457) × R
    0.000766989999999912 × 0.657459214465196 × 6371000     		du = 3212.67003993248m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85285016)-sin(-0.85335457))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.657839198768838-0.657459214465196)×R²
    abs(-0.58981561--0.59058260)×0.000379984303642278×R²
    0.000766989999999912×0.000379984303642278×6371000²
    0.000766989999999912×0.000379984303642278×40589641000000     		ar = 10327207.6497692m²