Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33278 / 33286
↖ ↑ ↗
← S  2.844290°
E  2.801514°		 ← 610.04 m → S  2.844290°
E  2.807007°		 →
↑
610.02 m
↓
↑
610.02 m
↓
S  2.849776°
E  2.801514°		 ← 610.03 m →
372 135 m²		 S  2.849776°
E  2.807007°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33278 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33286 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.507789611816406 y=0.507911682128906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.507789611816406 × 216)
    floor (0.507789611816406 × 65536)
    floor (33278.5)     		tx = 33278
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.507911682128906 × 216)
    floor (0.507911682128906 × 65536)
    floor (33286.5)     		ty = 33286
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33278 / 33286 ti = "16/33278/33286"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33278/33286.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33278 ÷ 216
    33278 ÷ 65536     		x = 0.507781982421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33286 ÷ 216
    33286 ÷ 65536     		y = 0.507904052734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.507781982421875 × 2 - 1) × π
    0.01556396484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.04889564
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.507904052734375 × 2 - 1) × π
    -0.01580810546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.0496626280063782
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04889564} λ = 0.04889564}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0496626280063782))-π/2
    2×atan(0.951550396808539)-π/2
    2×0.760577050333766-π/2
    1.52115410066753-1.57079632675     		φ = -0.04964223
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04889564} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.801514°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.04964223 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -2.844290°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33278 KachelY 33286 0.04889564 -0.04964223 2.801514 -2.844290
    Oben rechts KachelX + 1 33279 KachelY 33286 0.04899151 -0.04964223 2.807007 -2.844290
    Unten links KachelX 33278 KachelY + 1 33287 0.04889564 -0.04973798 2.801514 -2.849776
    Unten rechts KachelX + 1 33279 KachelY + 1 33287 0.04899151 -0.04973798 2.807007 -2.849776
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.04964223--0.04973798) × R
    9.57499999999986e-05 × 6371000     		dl = 610.023249999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.04964223--0.04973798) × R
    9.57499999999986e-05 × 6371000     		dr = 610.023249999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04889564-0.04899151) × cos(-0.04964223) × R
    9.58700000000048e-05 × 0.998768077522272 × 6371000     		do = 610.035326817046m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04889564-0.04899151) × cos(-0.04973798) × R
    9.58700000000048e-05 × 0.998763321652409 × 6371000     		du = 610.032421989898m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.04964223)-sin(-0.04973798))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998768077522272-0.998763321652409)×R²
    abs(0.04899151-0.04889564)×4.75586986314891e-06×R²
    9.58700000000048e-05×4.75586986314891e-06×6371000²
    9.58700000000048e-05×4.75586986314891e-06×40589641000000     		ar = 372134.846958013m²