Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33279 / 32257
↖ ↑ ↗
← N  2.805885°
E  2.807007°		 ← 610.12 m → N  2.805885°
E  2.812500°		 →
↑
610.09 m
↓
↑
610.09 m
↓
N  2.800398°
E  2.807007°		 ← 610.12 m →
372 227 m²		 N  2.800398°
E  2.812500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33279 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32257 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.507804870605469 y=0.492210388183594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.507804870605469 × 216)
    floor (0.507804870605469 × 65536)
    floor (33279.5)     		tx = 33279
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.492210388183594 × 216)
    floor (0.492210388183594 × 65536)
    floor (32257.5)     		ty = 32257
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33279 / 32257 ti = "16/33279/32257"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33279/32257.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33279 ÷ 216
    33279 ÷ 65536     		x = 0.507797241210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32257 ÷ 216
    32257 ÷ 65536     		y = 0.492202758789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.507797241210938 × 2 - 1) × π
    0.015594482421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.04899151
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.492202758789062 × 2 - 1) × π
    0.015594482421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.0489915114116974
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04899151} λ = 0.04899151}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0489915114116974))-π/2
    2×atan(1.05021143588968)-π/2
    2×0.809884125990065-π/2
    1.61976825198013-1.57079632675     		φ = 0.04897193
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04899151} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.807007°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.04897193 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 2.805885°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33279 KachelY 32257 0.04899151 0.04897193 2.807007 2.805885
    Oben rechts KachelX + 1 33280 KachelY 32257 0.04908739 0.04897193 2.812500 2.805885
    Unten links KachelX 33279 KachelY + 1 32258 0.04899151 0.04887617 2.807007 2.800398
    Unten rechts KachelX + 1 33280 KachelY + 1 32258 0.04908739 0.04887617 2.812500 2.800398
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.04897193-0.04887617) × R
    9.57600000000003e-05 × 6371000     		dl = 610.086960000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.04897193-0.04887617) × R
    9.57600000000003e-05 × 6371000     		dr = 610.086960000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04899151-0.04908739) × cos(0.04897193) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.998801114666994 × 6371000     		do = 610.11913911998m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04899151-0.04908739) × cos(0.04887617) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.998805797765283 × 6371000     		du = 610.121999797501m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.04897193)-sin(0.04887617))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998801114666994-0.998805797765283)×R²
    abs(0.04908739-0.04899151)×4.68309828949298e-06×R²
    9.58799999999996e-05×4.68309828949298e-06×6371000²
    9.58799999999996e-05×4.68309828949298e-06×40589641000000     		ar = 372226.60373898m²