Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3328 / 256
↖ ↑ ↗
← N 82.676285°
E112.500000°		 ← 1 245.81 m → N 82.676285°
E112.587891°		 →
↑
1 246.80 m
↓
↑
1 246.80 m
↓
N 82.665072°
E112.500000°		 ← 1 247.71 m →
1 554 468 m²		 N 82.665072°
E112.587891°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3328 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 256 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.8126220703125 y=0.0626220703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.8126220703125 × 212)
    floor (0.8126220703125 × 4096)
    floor (3328.5)     		tx = 3328
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0626220703125 × 212)
    floor (0.0626220703125 × 4096)
    floor (256.5)     		ty = 256
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3328 / 256 ti = "12/3328/256"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3328/256.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3328 ÷ 212
    3328 ÷ 4096     		x = 0.8125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 256 ÷ 212
    256 ÷ 4096     		y = 0.0625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8125 × 2 - 1) × π
    0.625 × 3.1415926535     		Λ = 1.96349541
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0625 × 2 - 1) × π
    0.875 × 3.1415926535     		Φ = 2.7488935718125
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.96349541} λ = 1.96349541}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.7488935718125))-π/2
    2×atan(15.6253340065392)-π/2
    2×1.5068848564871-π/2
    3.0137697129742-1.57079632675     		φ = 1.44297339
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.96349541} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.500000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.44297339 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.676285°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3328 KachelY 256 1.96349541 1.44297339 112.500000 82.676285
    Oben rechts KachelX + 1 3329 KachelY 256 1.96502939 1.44297339 112.587891 82.676285
    Unten links KachelX 3328 KachelY + 1 257 1.96349541 1.44277769 112.500000 82.665072
    Unten rechts KachelX + 1 3329 KachelY + 1 257 1.96502939 1.44277769 112.587891 82.665072
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.44297339-1.44277769) × R
    0.00019569999999991 × 6371000     		dl = 1246.80469999943m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.44297339-1.44277769) × R
    0.00019569999999991 × 6371000     		dr = 1246.80469999943m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.96349541-1.96502939) × cos(1.44297339) × R
    0.00153398000000005 × 0.127475144203388 × 6371000     		do = 1245.81287358332m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.96349541-1.96502939) × cos(1.44277769) × R
    0.00153398000000005 × 0.127669245194587 × 6371000     		du = 1247.70981996547m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.44297339)-sin(1.44277769))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.127475144203388-0.127669245194587)×R²
    abs(1.96502939-1.96349541)×0.000194100991198792×R²
    0.00153398000000005×0.000194100991198792×6371000²
    0.00153398000000005×0.000194100991198792×40589641000000     		ar = 1554467.91189647m²