Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3328 / 5376
↖ ↑ ↗
← S 48.922499°
W 33.750000°		 ← 3 210.81 m → S 48.922499°
W 33.706055°		 →
↑
3 209.90 m
↓
↑
3 209.90 m
↓
S 48.951367°
W 33.750000°		 ← 3 208.96 m →
10 303 414 m²		 S 48.951367°
W 33.706055°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3328 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5376 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.40631103515625 y=0.65631103515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.40631103515625 × 213)
    floor (0.40631103515625 × 8192)
    floor (3328.5)     		tx = 3328
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.65631103515625 × 213)
    floor (0.65631103515625 × 8192)
    floor (5376.5)     		ty = 5376
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3328 / 5376 ti = "13/3328/5376"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3328/5376.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3328 ÷ 213
    3328 ÷ 8192     		x = 0.40625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5376 ÷ 213
    5376 ÷ 8192     		y = 0.65625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40625 × 2 - 1) × π
    -0.1875 × 3.1415926535     		Λ = -0.58904862
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65625 × 2 - 1) × π
    -0.3125 × 3.1415926535     		Φ = -0.98174770421875
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58904862} λ = -0.58904862}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.98174770421875))-π/2
    2×atan(0.374655738915071)-π/2
    2×0.358468818178126-π/2
    0.716937636356251-1.57079632675     		φ = -0.85385869
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58904862} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.750000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85385869 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.922499°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3328 KachelY 5376 -0.58904862 -0.85385869 -33.750000 -48.922499
    Oben rechts KachelX + 1 3329 KachelY 5376 -0.58828163 -0.85385869 -33.706055 -48.922499
    Unten links KachelX 3328 KachelY + 1 5377 -0.58904862 -0.85436252 -33.750000 -48.951367
    Unten rechts KachelX + 1 3329 KachelY + 1 5377 -0.58828163 -0.85436252 -33.706055 -48.951367
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85385869--0.85436252) × R
    0.000503829999999983 × 6371000     		dl = 3209.90092999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85385869--0.85436252) × R
    0.000503829999999983 × 6371000     		dr = 3209.90092999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58904862--0.58828163) × cos(-0.85385869) × R
    0.000766990000000023 × 0.657079281492828 × 6371000     		do = 3210.81350001282m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58904862--0.58828163) × cos(-0.85436252) × R
    0.000766990000000023 × 0.656699400236557 × 6371000     		du = 3208.95721280305m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85385869)-sin(-0.85436252))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.657079281492828-0.656699400236557)×R²
    abs(-0.58828163--0.58904862)×0.000379881256270864×R²
    0.000766990000000023×0.000379881256270864×6371000²
    0.000766990000000023×0.000379881256270864×40589641000000     		ar = 10303414.2086835m²