Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 3328 / 5888
↖ ↑ ↗
← S 61.606397°
W 33.750000°		 ← 2 323.65 m → S 61.606397°
W 33.706055°		 →
↑
2 322.87 m
↓
↑
2 322.87 m
↓
S 61.627287°
W 33.750000°		 ← 2 322.09 m →
5 395 719 m²		 S 61.627287°
W 33.706055°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3328 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5888 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.40631103515625 y=0.71881103515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.40631103515625 × 213)
    floor (0.40631103515625 × 8192)
    floor (3328.5)     		tx = 3328
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.71881103515625 × 213)
    floor (0.71881103515625 × 8192)
    floor (5888.5)     		ty = 5888
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3328 / 5888 ti = "13/3328/5888"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3328/5888.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3328 ÷ 213
    3328 ÷ 8192     		x = 0.40625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5888 ÷ 213
    5888 ÷ 8192     		y = 0.71875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40625 × 2 - 1) × π
    -0.1875 × 3.1415926535     		Λ = -0.58904862
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.71875 × 2 - 1) × π
    -0.4375 × 3.1415926535     		Φ = -1.37444678590625
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58904862} λ = -0.58904862}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.37444678590625))-π/2
    2×atan(0.252979508929992)-π/2
    2×0.2477809349221-π/2
    0.4955618698442-1.57079632675     		φ = -1.07523446
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58904862} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.750000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07523446 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.606397°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3328 KachelY 5888 -0.58904862 -1.07523446 -33.750000 -61.606397
    Oben rechts KachelX + 1 3329 KachelY 5888 -0.58828163 -1.07523446 -33.706055 -61.606397
    Unten links KachelX 3328 KachelY + 1 5889 -0.58904862 -1.07559906 -33.750000 -61.627287
    Unten rechts KachelX + 1 3329 KachelY + 1 5889 -0.58828163 -1.07559906 -33.706055 -61.627287
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07523446--1.07559906) × R
    0.000364600000000159 × 6371000     		dl = 2322.86660000101m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07523446--1.07559906) × R
    0.000364600000000159 × 6371000     		dr = 2322.86660000101m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58904862--0.58828163) × cos(-1.07523446) × R
    0.000766990000000023 × 0.475526001461152 × 6371000     		do = 2323.65461536052m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58904862--0.58828163) × cos(-1.07559906) × R
    0.000766990000000023 × 0.475205230634088 × 6371000     		du = 2322.08717086644m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07523446)-sin(-1.07559906))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.475526001461152-0.475205230634088)×R²
    abs(-0.58828163--0.58904862)×0.00032077082706411×R²
    0.000766990000000023×0.00032077082706411×6371000²
    0.000766990000000023×0.00032077082706411×40589641000000     		ar = 5395719.27349705m²