Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33288 / 33288
↖ ↑ ↗
← S  2.855263°
E  2.856446°		 ← 610.03 m → S  2.855263°
E  2.861939°		 →
↑
610.02 m
↓
↑
610.02 m
↓
S  2.860749°
E  2.856446°		 ← 610.03 m →
372 131 m²		 S  2.860749°
E  2.861939°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33288 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33288 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.507942199707031 y=0.507942199707031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.507942199707031 × 216)
    floor (0.507942199707031 × 65536)
    floor (33288.5)     		tx = 33288
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.507942199707031 × 216)
    floor (0.507942199707031 × 65536)
    floor (33288.5)     		ty = 33288
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33288 / 33288 ti = "16/33288/33288"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33288/33288.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33288 ÷ 216
    33288 ÷ 65536     		x = 0.5079345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33288 ÷ 216
    33288 ÷ 65536     		y = 0.5079345703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5079345703125 × 2 - 1) × π
    0.015869140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.04985438
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5079345703125 × 2 - 1) × π
    -0.015869140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0498543756048584
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04985438} λ = 0.04985438}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0498543756048584))-π/2
    2×atan(0.951367956796894)-π/2
    2×0.760481295099731-π/2
    1.52096259019946-1.57079632675     		φ = -0.04983374
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04985438} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.856446°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.04983374 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -2.855263°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33288 KachelY 33288 0.04985438 -0.04983374 2.856446 -2.855263
    Oben rechts KachelX + 1 33289 KachelY 33288 0.04995025 -0.04983374 2.861939 -2.855263
    Unten links KachelX 33288 KachelY + 1 33289 0.04985438 -0.04992949 2.856446 -2.860749
    Unten rechts KachelX + 1 33289 KachelY + 1 33289 0.04995025 -0.04992949 2.861939 -2.860749
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.04983374--0.04992949) × R
    9.57499999999986e-05 × 6371000     		dl = 610.023249999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.04983374--0.04992949) × R
    9.57499999999986e-05 × 6371000     		dr = 610.023249999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04985438-0.04995025) × cos(-0.04983374) × R
    9.58700000000048e-05 × 0.99875855612769 × 6371000     		do = 610.029511265682m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04985438-0.04995025) × cos(-0.04992949) × R
    9.58700000000048e-05 × 0.998753781943465 × 6371000     		du = 610.026595252346m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.04983374)-sin(-0.04992949))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99875855612769-0.998753781943465)×R²
    abs(0.04995025-0.04985438)×4.77418422484277e-06×R²
    9.58700000000048e-05×4.77418422484277e-06×6371000²
    9.58700000000048e-05×4.77418422484277e-06×40589641000000     		ar = 372131.295924541m²