Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 3329 / 5377
↖ ↑ ↗
← S 48.951367°
W 33.706055°		 ← 3 208.96 m → S 48.951367°
W 33.662109°		 →
↑
3 207.99 m
↓
↑
3 207.99 m
↓
S 48.980217°
W 33.706055°		 ← 3 207.10 m →
10 291 325 m²		 S 48.980217°
W 33.662109°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3329 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5377 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.40643310546875 y=0.65643310546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.40643310546875 × 213)
    floor (0.40643310546875 × 8192)
    floor (3329.5)     		tx = 3329
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.65643310546875 × 213)
    floor (0.65643310546875 × 8192)
    floor (5377.5)     		ty = 5377
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3329 / 5377 ti = "13/3329/5377"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3329/5377.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3329 ÷ 213
    3329 ÷ 8192     		x = 0.4063720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5377 ÷ 213
    5377 ÷ 8192     		y = 0.6563720703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4063720703125 × 2 - 1) × π
    -0.187255859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.58828163
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6563720703125 × 2 - 1) × π
    -0.312744140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.982514694612671
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58828163} λ = -0.58828163}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.982514694612671))-π/2
    2×atan(0.374368491734291)-π/2
    2×0.358216904272472-π/2
    0.716433808544943-1.57079632675     		φ = -0.85436252
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58828163} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.706055°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85436252 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.951367°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3329 KachelY 5377 -0.58828163 -0.85436252 -33.706055 -48.951367
    Oben rechts KachelX + 1 3330 KachelY 5377 -0.58751464 -0.85436252 -33.662109 -48.951367
    Unten links KachelX 3329 KachelY + 1 5378 -0.58828163 -0.85486605 -33.706055 -48.980217
    Unten rechts KachelX + 1 3330 KachelY + 1 5378 -0.58751464 -0.85486605 -33.662109 -48.980217
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85436252--0.85486605) × R
    0.00050353000000003 × 6371000     		dl = 3207.98963000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85436252--0.85486605) × R
    0.00050353000000003 × 6371000     		dr = 3207.98963000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58828163--0.58751464) × cos(-0.85436252) × R
    0.000766990000000023 × 0.656699400236557 × 6371000     		do = 3208.95721280305m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58828163--0.58751464) × cos(-0.85486605) × R
    0.000766990000000023 × 0.65631957862558 × 6371000     		du = 3207.10121704962m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85436252)-sin(-0.85486605))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.656699400236557-0.65631957862558)×R²
    abs(-0.58751464--0.58828163)×0.000379821610976938×R²
    0.000766990000000023×0.000379821610976938×6371000²
    0.000766990000000023×0.000379821610976938×40589641000000     		ar = 10291324.671661m²