Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33290 / 33290
↖ ↑ ↗
← S  2.866236°
E  2.867431°		 ← 610.09 m → S  2.866236°
E  2.872925°		 →
↑
610.02 m
↓
↑
610.02 m
↓
S  2.871722°
E  2.867431°		 ← 610.08 m →
372 167 m²		 S  2.871722°
E  2.872925°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33290 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33290 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.507972717285156 y=0.507972717285156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.507972717285156 × 216)
    floor (0.507972717285156 × 65536)
    floor (33290.5)     		tx = 33290
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.507972717285156 × 216)
    floor (0.507972717285156 × 65536)
    floor (33290.5)     		ty = 33290
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33290 / 33290 ti = "16/33290/33290"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33290/33290.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33290 ÷ 216
    33290 ÷ 65536     		x = 0.507965087890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33290 ÷ 216
    33290 ÷ 65536     		y = 0.507965087890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.507965087890625 × 2 - 1) × π
    0.01593017578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.05004612
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.507965087890625 × 2 - 1) × π
    -0.01593017578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0500461232033386
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05004612} λ = 0.05004612}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0500461232033386))-π/2
    2×atan(0.951185551764329)-π/2
    2×0.760385540780302-π/2
    1.5207710815606-1.57079632675     		φ = -0.05002525
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05004612} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.867431°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.05002525 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -2.866236°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33290 KachelY 33290 0.05004612 -0.05002525 2.867431 -2.866236
    Oben rechts KachelX + 1 33291 KachelY 33290 0.05014200 -0.05002525 2.872925 -2.866236
    Unten links KachelX 33290 KachelY + 1 33291 0.05004612 -0.05012100 2.867431 -2.871722
    Unten rechts KachelX + 1 33291 KachelY + 1 33291 0.05014200 -0.05012100 2.872925 -2.871722
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.05002525--0.05012100) × R
    9.57499999999986e-05 × 6371000     		dl = 610.023249999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.05002525--0.05012100) × R
    9.57499999999986e-05 × 6371000     		dr = 610.023249999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05004612-0.05014200) × cos(-0.05002525) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.998748998102559 × 6371000     		do = 610.087303639463m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05004612-0.05014200) × cos(-0.05012100) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.998744205604148 × 6371000     		du = 610.084376134715m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.05002525)-sin(-0.05012100))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998748998102559-0.998744205604148)×R²
    abs(0.05014200-0.05004612)×4.79249841145446e-06×R²
    9.58799999999996e-05×4.79249841145446e-06×6371000²
    9.58799999999996e-05×4.79249841145446e-06×40589641000000     		ar = 372166.54711122m²