Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33295 / 33297
↖ ↑ ↗
← S  2.904639°
E  2.894897°		 ← 610.07 m → S  2.904639°
E  2.900391°		 →
↑
610.02 m
↓
↑
610.02 m
↓
S  2.910125°
E  2.894897°		 ← 610.06 m →
372 154 m²		 S  2.910125°
E  2.900391°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33295 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33297 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508049011230469 y=0.508079528808594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508049011230469 × 216)
    floor (0.508049011230469 × 65536)
    floor (33295.5)     		tx = 33295
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.508079528808594 × 216)
    floor (0.508079528808594 × 65536)
    floor (33297.5)     		ty = 33297
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33295 / 33297 ti = "16/33295/33297"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33295/33297.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33295 ÷ 216
    33295 ÷ 65536     		x = 0.508041381835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33297 ÷ 216
    33297 ÷ 65536     		y = 0.508071899414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.508041381835938 × 2 - 1) × π
    0.016082763671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.05052549
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.508071899414062 × 2 - 1) × π
    -0.016143798828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0507172397980194
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05052549} λ = 0.05052549}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0507172397980194))-π/2
    2×atan(0.950547409513798)-π/2
    2×0.760050407915398-π/2
    1.5201008158308-1.57079632675     		φ = -0.05069551
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05052549} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.894897°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.05069551 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -2.904639°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33295 KachelY 33297 0.05052549 -0.05069551 2.894897 -2.904639
    Oben rechts KachelX + 1 33296 KachelY 33297 0.05062137 -0.05069551 2.900391 -2.904639
    Unten links KachelX 33295 KachelY + 1 33298 0.05052549 -0.05079126 2.894897 -2.910125
    Unten rechts KachelX + 1 33296 KachelY + 1 33298 0.05062137 -0.05079126 2.900391 -2.910125
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.05069551--0.05079126) × R
    9.57499999999986e-05 × 6371000     		dl = 610.023249999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.05069551--0.05079126) × R
    9.57499999999986e-05 × 6371000     		dr = 610.023249999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05052549-0.05062137) × cos(-0.05069551) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.99871525782095 × 6371000     		do = 610.066693338506m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05052549-0.05062137) × cos(-0.05079126) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.998710401226665 × 6371000     		du = 610.063726680699m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.05069551)-sin(-0.05079126))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99871525782095-0.998710401226665)×R²
    abs(0.05062137-0.05052549)×4.85659428528518e-06×R²
    9.58799999999996e-05×4.85659428528518e-06×6371000²
    9.58799999999996e-05×4.85659428528518e-06×40589641000000     		ar = 372153.962406323m²