Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 333 / 77
↖ ↑ ↗
← N 77.312520°
E 54.140625°		 ← 17.172 km → N 77.312520°
E 54.843750°		 →
↑
17.275 km
↓
↑
17.275 km
↓
N 77.157163°
E 54.140625°		 ← 17.379 km →
298.428 km²		 N 77.157163°
E 54.843750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 333 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6513671875 y=0.1513671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6513671875 × 29)
    floor (0.6513671875 × 512)
    floor (333.5)     		tx = 333
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1513671875 × 29)
    floor (0.1513671875 × 512)
    floor (77.5)     		ty = 77
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 333 / 77 ti = "9/333/77"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/333/77.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 333 ÷ 29
    333 ÷ 512     		x = 0.650390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77 ÷ 29
    77 ÷ 512     		y = 0.150390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.650390625 × 2 - 1) × π
    0.30078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.94493217
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.150390625 × 2 - 1) × π
    0.69921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.19666048818945
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.94493217} λ = 0.94493217}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19666048818945))-π/2
    2×atan(8.99492462929445)-π/2
    2×1.4600771763585-π/2
    2.92015435271701-1.57079632675     		φ = 1.34935803
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.94493217} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 54.140625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34935803 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.312520°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 333 KachelY 77 0.94493217 1.34935803 54.140625 77.312520
    Oben rechts KachelX + 1 334 KachelY 77 0.95720401 1.34935803 54.843750 77.312520
    Unten links KachelX 333 KachelY + 1 78 0.94493217 1.34664653 54.140625 77.157163
    Unten rechts KachelX + 1 334 KachelY + 1 78 0.95720401 1.34664653 54.843750 77.157163
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34935803-1.34664653) × R
    0.0027115000000002 × 6371000     		dl = 17274.9665000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34935803-1.34664653) × R
    0.0027115000000002 × 6371000     		dr = 17274.9665000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.94493217-0.95720401) × cos(1.34935803) × R
    0.01227184 × 0.219633027044924 × 6371000     		do = 17171.7650066786m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.94493217-0.95720401) × cos(1.34664653) × R
    0.01227184 × 0.222277508521736 × 6371000     		du = 17378.5208625502m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34935803)-sin(1.34664653))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.219633027044924-0.222277508521736)×R²
    abs(0.95720401-0.94493217)×0.00264448147681248×R²
    0.01227184×0.00264448147681248×6371000²
    0.01227184×0.00264448147681248×40589641000000     		ar = 298427698.320681m²