Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3330 / 1282
↖ ↑ ↗
← N 76.820792°
W 33.662109°		 ← 1 114.11 m → N 76.820792°
W 33.618164°		 →
↑
1 114.48 m
↓
↑
1 114.48 m
↓
N 76.810770°
W 33.662109°		 ← 1 114.94 m →
1 242 114 m²		 N 76.810770°
W 33.618164°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3330 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1282 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.40655517578125 y=0.15655517578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.40655517578125 × 213)
    floor (0.40655517578125 × 8192)
    floor (3330.5)     		tx = 3330
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.15655517578125 × 213)
    floor (0.15655517578125 × 8192)
    floor (1282.5)     		ty = 1282
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3330 / 1282 ti = "13/3330/1282"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3330/1282.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3330 ÷ 213
    3330 ÷ 8192     		x = 0.406494140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1282 ÷ 213
    1282 ÷ 8192     		y = 0.156494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.406494140625 × 2 - 1) × π
    -0.18701171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.58751464
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.156494140625 × 2 - 1) × π
    0.68701171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.15831096849341
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58751464} λ = -0.58751464}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15831096849341))-π/2
    2×atan(8.65650419542927)-π/2
    2×1.45578604517058-π/2
    2.91157209034116-1.57079632675     		φ = 1.34077576
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58751464} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.662109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34077576 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.820792°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3330 KachelY 1282 -0.58751464 1.34077576 -33.662109 76.820792
    Oben rechts KachelX + 1 3331 KachelY 1282 -0.58674765 1.34077576 -33.618164 76.820792
    Unten links KachelX 3330 KachelY + 1 1283 -0.58751464 1.34060083 -33.662109 76.810770
    Unten rechts KachelX + 1 3331 KachelY + 1 1283 -0.58674765 1.34060083 -33.618164 76.810770
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34077576-1.34060083) × R
    0.000174930000000018 × 6371000     		dl = 1114.47903000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34077576-1.34060083) × R
    0.000174930000000018 × 6371000     		dr = 1114.47903000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58751464--0.58674765) × cos(1.34077576) × R
    0.000766990000000023 × 0.227997548684014 × 6371000     		do = 1114.10849178092m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58751464--0.58674765) × cos(1.34060083) × R
    0.000766990000000023 × 0.228167867836962 × 6371000     		du = 1114.94075517895m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34077576)-sin(1.34060083))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.227997548684014-0.228167867836962)×R²
    abs(-0.58674765--0.58751464)×0.000170319152947573×R²
    0.000766990000000023×0.000170319152947573×6371000²
    0.000766990000000023×0.000170319152947573×40589641000000     		ar = 1242114.32445626m²