Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33316 / 33316
↖ ↑ ↗
← S  3.008870°
E  3.010254°		 ← 610.01 m → S  3.008870°
E  3.015747°		 →
↑
609.96 m
↓
↑
609.96 m
↓
S  3.014356°
E  3.010254°		 ← 610.01 m →
372 080 m²		 S  3.014356°
E  3.015747°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33316 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33316 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508369445800781 y=0.508369445800781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508369445800781 × 216)
    floor (0.508369445800781 × 65536)
    floor (33316.5)     		tx = 33316
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.508369445800781 × 216)
    floor (0.508369445800781 × 65536)
    floor (33316.5)     		ty = 33316
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33316 / 33316 ti = "16/33316/33316"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33316/33316.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33316 ÷ 216
    33316 ÷ 65536     		x = 0.50836181640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33316 ÷ 216
    33316 ÷ 65536     		y = 0.50836181640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50836181640625 × 2 - 1) × π
    0.0167236328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.05253884
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.50836181640625 × 2 - 1) × π
    -0.0167236328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0525388419835815
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05253884} λ = 0.05253884}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0525388419835815))-π/2
    2×atan(0.9488174663876)-π/2
    2×0.759140819450542-π/2
    1.51828163890108-1.57079632675     		φ = -0.05251469
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05253884} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.010254°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.05251469 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -3.008870°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33316 KachelY 33316 0.05253884 -0.05251469 3.010254 -3.008870
    Oben rechts KachelX + 1 33317 KachelY 33316 0.05263472 -0.05251469 3.015747 -3.008870
    Unten links KachelX 33316 KachelY + 1 33317 0.05253884 -0.05261043 3.010254 -3.014356
    Unten rechts KachelX + 1 33317 KachelY + 1 33317 0.05263472 -0.05261043 3.015747 -3.014356
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.05251469--0.05261043) × R
    9.57399999999969e-05 × 6371000     		dl = 609.959539999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.05251469--0.05261043) × R
    9.57399999999969e-05 × 6371000     		dr = 609.959539999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05253884-0.05263472) × cos(-0.05251469) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.998621420530489 × 6371000     		do = 610.009372690749m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05253884-0.05263472) × cos(-0.05261043) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.99861639050792 × 6371000     		du = 610.006300094018m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.05251469)-sin(-0.05261043))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998621420530489-0.99861639050792)×R²
    abs(0.05263472-0.05253884)×5.03002256890817e-06×R²
    9.58799999999996e-05×5.03002256890817e-06×6371000²
    9.58799999999996e-05×5.03002256890817e-06×40589641000000     		ar = 372080.099566503m²