Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3332 / 5388
↖ ↑ ↗
← S 49.267804°
W 33.574219°		 ← 3 188.56 m → S 49.267804°
W 33.530273°		 →
↑
3 187.67 m
↓
↑
3 187.67 m
↓
S 49.296472°
W 33.574219°		 ← 3 186.70 m →
10 161 098 m²		 S 49.296472°
W 33.530273°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3332 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5388 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.40679931640625 y=0.65777587890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.40679931640625 × 213)
    floor (0.40679931640625 × 8192)
    floor (3332.5)     		tx = 3332
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.65777587890625 × 213)
    floor (0.65777587890625 × 8192)
    floor (5388.5)     		ty = 5388
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3332 / 5388 ti = "13/3332/5388"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3332/5388.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3332 ÷ 213
    3332 ÷ 8192     		x = 0.40673828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5388 ÷ 213
    5388 ÷ 8192     		y = 0.65771484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40673828125 × 2 - 1) × π
    -0.1865234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.58598066
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65771484375 × 2 - 1) × π
    -0.3154296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.990951588945801
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58598066} λ = -0.58598066}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.990951588945801))-π/2
    2×atan(0.371223270932346)-π/2
    2×0.355455461087854-π/2
    0.710910922175708-1.57079632675     		φ = -0.85988540
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58598066} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.574219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85988540 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.267804°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3332 KachelY 5388 -0.58598066 -0.85988540 -33.574219 -49.267804
    Oben rechts KachelX + 1 3333 KachelY 5388 -0.58521367 -0.85988540 -33.530273 -49.267804
    Unten links KachelX 3332 KachelY + 1 5389 -0.58598066 -0.86038574 -33.574219 -49.296472
    Unten rechts KachelX + 1 3333 KachelY + 1 5389 -0.58521367 -0.86038574 -33.530273 -49.296472
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85988540--0.86038574) × R
    0.000500339999999988 × 6371000     		dl = 3187.66613999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85988540--0.86038574) × R
    0.000500339999999988 × 6371000     		dr = 3187.66613999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58598066--0.58521367) × cos(-0.85988540) × R
    0.000766990000000023 × 0.652524312637287 × 6371000     		do = 3188.55567526406m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58598066--0.58521367) × cos(-0.86038574) × R
    0.000766990000000023 × 0.652145089441261 × 6371000     		du = 3186.70260366127m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85988540)-sin(-0.86038574))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.652524312637287-0.652145089441261)×R²
    abs(-0.58521367--0.58598066)×0.000379223196025902×R²
    0.000766990000000023×0.000379223196025902×6371000²
    0.000766990000000023×0.000379223196025902×40589641000000     		ar = 10161097.6867207m²