Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 3334 / 5382
↖ ↑ ↗
← S 49.095452°
W 33.486328°		 ← 3 199.68 m → S 49.095452°
W 33.442383°		 →
↑
3 198.75 m
↓
↑
3 198.75 m
↓
S 49.124219°
W 33.486328°		 ← 3 197.83 m →
10 232 015 m²		 S 49.124219°
W 33.442383°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3334 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5382 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.40704345703125 y=0.65704345703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.40704345703125 × 213)
    floor (0.40704345703125 × 8192)
    floor (3334.5)     		tx = 3334
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.65704345703125 × 213)
    floor (0.65704345703125 × 8192)
    floor (5382.5)     		ty = 5382
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3334 / 5382 ti = "13/3334/5382"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3334/5382.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3334 ÷ 213
    3334 ÷ 8192     		x = 0.406982421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5382 ÷ 213
    5382 ÷ 8192     		y = 0.656982421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.406982421875 × 2 - 1) × π
    -0.18603515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.58444668
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.656982421875 × 2 - 1) × π
    -0.31396484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.986349646582275
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58444668} λ = -0.58444668}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.986349646582275))-π/2
    2×atan(0.372935555925723)-π/2
    2×0.356959519410877-π/2
    0.713919038821754-1.57079632675     		φ = -0.85687729
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58444668} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.486328°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85687729 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.095452°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3334 KachelY 5382 -0.58444668 -0.85687729 -33.486328 -49.095452
    Oben rechts KachelX + 1 3335 KachelY 5382 -0.58367969 -0.85687729 -33.442383 -49.095452
    Unten links KachelX 3334 KachelY + 1 5383 -0.58444668 -0.85737937 -33.486328 -49.124219
    Unten rechts KachelX + 1 3335 KachelY + 1 5383 -0.58367969 -0.85737937 -33.442383 -49.124219
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85687729--0.85737937) × R
    0.00050207999999996 × 6371000     		dl = 3198.75167999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85687729--0.85737937) × R
    0.00050207999999996 × 6371000     		dr = 3198.75167999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58444668--0.58367969) × cos(-0.85687729) × R
    0.000766990000000023 × 0.654800805807568 × 6371000     		do = 3199.67974386537m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58444668--0.58367969) × cos(-0.85737937) × R
    0.000766990000000023 × 0.654421250474776 × 6371000     		du = 3197.8250492785m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85687729)-sin(-0.85737937))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.654800805807568-0.654421250474776)×R²
    abs(-0.58367969--0.58444668)×0.000379555332792103×R²
    0.000766990000000023×0.000379555332792103×6371000²
    0.000766990000000023×0.000379555332792103×40589641000000     		ar = 10232014.8173806m²