Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 33344 / 32320
↖ ↑ ↗
← N  2.460181°
E  3.164063°		 ← 610.22 m → N  2.460181°
E  3.169556°		 →
↑
610.21 m
↓
↑
610.21 m
↓
N  2.454693°
E  3.164063°		 ← 610.23 m →
372 369 m²		 N  2.454693°
E  3.169556°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33344 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32320 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508796691894531 y=0.493171691894531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508796691894531 × 216)
    floor (0.508796691894531 × 65536)
    floor (33344.5)     		tx = 33344
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.493171691894531 × 216)
    floor (0.493171691894531 × 65536)
    floor (32320.5)     		ty = 32320
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33344 / 32320 ti = "16/33344/32320"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33344/32320.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33344 ÷ 216
    33344 ÷ 65536     		x = 0.5087890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32320 ÷ 216
    32320 ÷ 65536     		y = 0.4931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5087890625 × 2 - 1) × π
    0.017578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.05522331
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4931640625 × 2 - 1) × π
    0.013671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.0429514620595703
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05522331} λ = 0.05522331}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0429514620595703))-π/2
    2×atan(1.04388722548496)-π/2
    2×0.806867294299045-π/2
    1.61373458859809-1.57079632675     		φ = 0.04293826
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05522331} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.164063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.04293826 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 2.460181°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33344 KachelY 32320 0.05522331 0.04293826 3.164063 2.460181
    Oben rechts KachelX + 1 33345 KachelY 32320 0.05531918 0.04293826 3.169556 2.460181
    Unten links KachelX 33344 KachelY + 1 32321 0.05522331 0.04284248 3.164063 2.454693
    Unten rechts KachelX + 1 33345 KachelY + 1 32321 0.05531918 0.04284248 3.169556 2.454693
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.04293826-0.04284248) × R
    9.57799999999967e-05 × 6371000     		dl = 610.214379999979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.04293826-0.04284248) × R
    9.57799999999967e-05 × 6371000     		dr = 610.214379999979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05522331-0.05531918) × cos(0.04293826) × R
    9.58700000000048e-05 × 0.999078294539057 × 6371000     		do = 610.224803576945m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05522331-0.05531918) × cos(0.04284248) × R
    9.58700000000048e-05 × 0.999082401319296 × 6371000     		du = 610.227311948089m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.04293826)-sin(0.04284248))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999078294539057-0.999082401319296)×R²
    abs(0.05531918-0.05522331)×4.10678023898825e-06×R²
    9.58700000000048e-05×4.10678023898825e-06×6371000²
    9.58700000000048e-05×4.10678023898825e-06×40589641000000     		ar = 372368.715782053m²