Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3335 / 5385
↖ ↑ ↗
← S 49.181704°
W 33.442383°		 ← 3 194.12 m → S 49.181704°
W 33.398438°		 →
↑
3 193.15 m
↓
↑
3 193.15 m
↓
S 49.210420°
W 33.442383°		 ← 3 192.26 m →
10 196 318 m²		 S 49.210420°
W 33.398438°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3335 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5385 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.40716552734375 y=0.65740966796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.40716552734375 × 213)
    floor (0.40716552734375 × 8192)
    floor (3335.5)     		tx = 3335
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.65740966796875 × 213)
    floor (0.65740966796875 × 8192)
    floor (5385.5)     		ty = 5385
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3335 / 5385 ti = "13/3335/5385"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3335/5385.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3335 ÷ 213
    3335 ÷ 8192     		x = 0.4071044921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5385 ÷ 213
    5385 ÷ 8192     		y = 0.6573486328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4071044921875 × 2 - 1) × π
    -0.185791015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.58367969
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6573486328125 × 2 - 1) × π
    -0.314697265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.988650617764038
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58367969} λ = -0.58367969}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.988650617764038))-π/2
    2×atan(0.372078428449863)-π/2
    2×0.356206835479319-π/2
    0.712413670958638-1.57079632675     		φ = -0.85838266
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58367969} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.442383°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85838266 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.181704°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3335 KachelY 5385 -0.58367969 -0.85838266 -33.442383 -49.181704
    Oben rechts KachelX + 1 3336 KachelY 5385 -0.58291270 -0.85838266 -33.398438 -49.181704
    Unten links KachelX 3335 KachelY + 1 5386 -0.58367969 -0.85888386 -33.442383 -49.210420
    Unten rechts KachelX + 1 3336 KachelY + 1 5386 -0.58291270 -0.85888386 -33.398438 -49.210420
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85838266--0.85888386) × R
    0.00050120000000009 × 6371000     		dl = 3193.14520000058m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85838266--0.85888386) × R
    0.00050120000000009 × 6371000     		dr = 3193.14520000058m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58367969--0.58291270) × cos(-0.85838266) × R
    0.000766990000000023 × 0.653662303401283 × 6371000     		do = 3194.11645949641m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58367969--0.58291270) × cos(-0.85888386) × R
    0.000766990000000023 × 0.653282919993597 × 6371000     		du = 3192.26260502041m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85838266)-sin(-0.85888386))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.653662303401283-0.653282919993597)×R²
    abs(-0.58291270--0.58367969)×0.000379383407686285×R²
    0.000766990000000023×0.000379383407686285×6371000²
    0.000766990000000023×0.000379383407686285×40589641000000     		ar = 10196318.0410678m²