Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 33360 / 33360
↖ ↑ ↗
← S  3.250209°
E  3.251953°		 ← 609.81 m → S  3.250209°
E  3.257446°		 →
↑
609.83 m
↓
↑
609.83 m
↓
S  3.255693°
E  3.251953°		 ← 609.80 m →
371 878 m²		 S  3.255693°
E  3.257446°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33360 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33360 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.509040832519531 y=0.509040832519531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.509040832519531 × 216)
    floor (0.509040832519531 × 65536)
    floor (33360.5)     		tx = 33360
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.509040832519531 × 216)
    floor (0.509040832519531 × 65536)
    floor (33360.5)     		ty = 33360
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33360 / 33360 ti = "16/33360/33360"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33360/33360.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33360 ÷ 216
    33360 ÷ 65536     		x = 0.509033203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33360 ÷ 216
    33360 ÷ 65536     		y = 0.509033203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.509033203125 × 2 - 1) × π
    0.01806640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.05675729
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.509033203125 × 2 - 1) × π
    -0.01806640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0567572891501465
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05675729} λ = 0.05675729}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0567572891501465))-π/2
    2×atan(0.944823360420454)-π/2
    2×0.75703474300958-π/2
    1.51406948601916-1.57079632675     		φ = -0.05672684
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05675729} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.251953°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.05672684 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -3.250209°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33360 KachelY 33360 0.05675729 -0.05672684 3.251953 -3.250209
    Oben rechts KachelX + 1 33361 KachelY 33360 0.05685316 -0.05672684 3.257446 -3.250209
    Unten links KachelX 33360 KachelY + 1 33361 0.05675729 -0.05682256 3.251953 -3.255693
    Unten rechts KachelX + 1 33361 KachelY + 1 33361 0.05685316 -0.05682256 3.257446 -3.255693
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.05672684--0.05682256) × R
    9.57200000000005e-05 × 6371000     		dl = 609.832120000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.05672684--0.05682256) × R
    9.57200000000005e-05 × 6371000     		dr = 609.832120000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05675729-0.05685316) × cos(-0.05672684) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.998391464228098 × 6371000     		do = 609.805296022901m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05675729-0.05685316) × cos(-0.05682256) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.998386032672896 × 6371000     		du = 609.801978495412m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.05672684)-sin(-0.05682256))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998391464228098-0.998386032672896)×R²
    abs(0.05685316-0.05675729)×5.43155520194016e-06×R²
    9.58699999999979e-05×5.43155520194016e-06×6371000²
    9.58699999999979e-05×5.43155520194016e-06×40589641000000     		ar = 371877.845177397m²