Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3338 / 5386
↖ ↑ ↗
← S 49.210420°
W 33.310547°		 ← 3 192.26 m → S 49.210420°
W 33.266602°		 →
↑
3 191.36 m
↓
↑
3 191.36 m
↓
S 49.239121°
W 33.310547°		 ← 3 190.41 m →
10 184 706 m²		 S 49.239121°
W 33.266602°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3338 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5386 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.40753173828125 y=0.65753173828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.40753173828125 × 213)
    floor (0.40753173828125 × 8192)
    floor (3338.5)     		tx = 3338
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.65753173828125 × 213)
    floor (0.65753173828125 × 8192)
    floor (5386.5)     		ty = 5386
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3338 / 5386 ti = "13/3338/5386"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3338/5386.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3338 ÷ 213
    3338 ÷ 8192     		x = 0.407470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5386 ÷ 213
    5386 ÷ 8192     		y = 0.657470703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.407470703125 × 2 - 1) × π
    -0.18505859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.58137872
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.657470703125 × 2 - 1) × π
    -0.31494140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.989417608157959
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58137872} λ = -0.58137872}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.989417608157959))-π/2
    2×atan(0.371793157283563)-π/2
    2×0.355956231873019-π/2
    0.711912463746038-1.57079632675     		φ = -0.85888386
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58137872} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.310547°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85888386 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.210420°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3338 KachelY 5386 -0.58137872 -0.85888386 -33.310547 -49.210420
    Oben rechts KachelX + 1 3339 KachelY 5386 -0.58061173 -0.85888386 -33.266602 -49.210420
    Unten links KachelX 3338 KachelY + 1 5387 -0.58137872 -0.85938478 -33.310547 -49.239121
    Unten rechts KachelX + 1 3339 KachelY + 1 5387 -0.58061173 -0.85938478 -33.266602 -49.239121
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85888386--0.85938478) × R
    0.000500919999999905 × 6371000     		dl = 3191.36131999939m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85888386--0.85938478) × R
    0.000500919999999905 × 6371000     		dr = 3191.36131999939m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58137872--0.58061173) × cos(-0.85888386) × R
    0.000766990000000023 × 0.653282919993597 × 6371000     		do = 3192.26260502041m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58137872--0.58061173) × cos(-0.85938478) × R
    0.000766990000000023 × 0.652903584563817 × 6371000     		du = 3190.40898498814m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85888386)-sin(-0.85938478))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.653282919993597-0.652903584563817)×R²
    abs(-0.58061173--0.58137872)×0.000379335429779859×R²
    0.000766990000000023×0.000379335429779859×6371000²
    0.000766990000000023×0.000379335429779859×40589641000000     		ar = 10184705.8282686m²