Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 334 / 82
↖ ↑ ↗
← N 76.516819°
E 54.843750°		 ← 18.229 km → N 76.516819°
E 55.546875°		 →
↑
18.339 km
↓
↑
18.339 km
↓
N 76.351896°
E 54.843750°		 ← 18.448 km →
336.306 km²		 N 76.351896°
E 55.546875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 334 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6533203125 y=0.1611328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6533203125 × 29)
    floor (0.6533203125 × 512)
    floor (334.5)     		tx = 334
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1611328125 × 29)
    floor (0.1611328125 × 512)
    floor (82.5)     		ty = 82
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 334 / 82 ti = "9/334/82"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/334/82.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 334 ÷ 29
    334 ÷ 512     		x = 0.65234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82 ÷ 29
    82 ÷ 512     		y = 0.16015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.65234375 × 2 - 1) × π
    0.3046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.95720401
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.16015625 × 2 - 1) × π
    0.6796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.13530125667578
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.95720401} λ = 0.95720401}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.13530125667578))-π/2
    2×atan(8.45959463237978)-π/2
    2×1.45313337466975-π/2
    2.90626674933949-1.57079632675     		φ = 1.33547042
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.95720401} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 54.843750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33547042 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.516819°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 334 KachelY 82 0.95720401 1.33547042 54.843750 76.516819
    Oben rechts KachelX + 1 335 KachelY 82 0.96947586 1.33547042 55.546875 76.516819
    Unten links KachelX 334 KachelY + 1 83 0.95720401 1.33259198 54.843750 76.351896
    Unten rechts KachelX + 1 335 KachelY + 1 83 0.96947586 1.33259198 55.546875 76.351896
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33547042-1.33259198) × R
    0.00287844000000015 × 6371000     		dl = 18338.5412400009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33547042-1.33259198) × R
    0.00287844000000015 × 6371000     		dr = 18338.5412400009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.95720401-0.96947586) × cos(1.33547042) × R
    0.01227185 × 0.233159922173044 × 6371000     		do = 18229.3651777466m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.95720401-0.96947586) × cos(1.33259198) × R
    0.01227185 × 0.235958057996113 × 6371000     		du = 18448.1345067988m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33547042)-sin(1.33259198))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.233159922173044-0.235958057996113)×R²
    abs(0.96947586-0.95720401)×0.00279813582306854×R²
    0.01227185×0.00279813582306854×6371000²
    0.01227185×0.00279813582306854×40589641000000     		ar = 336306152.475701m²