Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 335 / 111
↖ ↑ ↗
← N 70.844672°
E 55.546875°		 ← 25.654 km → N 70.844672°
E 56.250000°		 →
↑
25.804 km
↓
↑
25.804 km
↓
N 70.612614°
E 55.546875°		 ← 25.953 km →
665.838 km²		 N 70.612614°
E 56.250000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 335 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 111 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6552734375 y=0.2177734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6552734375 × 29)
    floor (0.6552734375 × 512)
    floor (335.5)     		tx = 335
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2177734375 × 29)
    floor (0.2177734375 × 512)
    floor (111.5)     		ty = 111
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 335 / 111 ti = "9/335/111"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/335/111.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 335 ÷ 29
    335 ÷ 512     		x = 0.654296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 111 ÷ 29
    111 ÷ 512     		y = 0.216796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.654296875 × 2 - 1) × π
    0.30859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.96947586
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.216796875 × 2 - 1) × π
    0.56640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.77941771389648
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.96947586} λ = 0.96947586}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.77941771389648))-π/2
    2×atan(5.92640455068764)-π/2
    2×1.40363456087172-π/2
    2.80726912174344-1.57079632675     		φ = 1.23647279
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.96947586} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 55.546875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23647279 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.844672°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 335 KachelY 111 0.96947586 1.23647279 55.546875 70.844672
    Oben rechts KachelX + 1 336 KachelY 111 0.98174770 1.23647279 56.250000 70.844672
    Unten links KachelX 335 KachelY + 1 112 0.96947586 1.23242261 55.546875 70.612614
    Unten rechts KachelX + 1 336 KachelY + 1 112 0.98174770 1.23242261 56.250000 70.612614
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23647279-1.23242261) × R
    0.00405018000000013 × 6371000     		dl = 25803.6967800008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23647279-1.23242261) × R
    0.00405018000000013 × 6371000     		dr = 25803.6967800008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.96947586-0.98174770) × cos(1.23647279) × R
    0.01227184 × 0.328130235874851 × 6371000     		do = 25654.4991335773m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.96947586-0.98174770) × cos(1.23242261) × R
    0.01227184 × 0.331953465734817 × 6371000     		du = 25953.4141264869m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23647279)-sin(1.23242261))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.328130235874851-0.331953465734817)×R²
    abs(0.98174770-0.96947586)×0.00382322985996542×R²
    0.01227184×0.00382322985996542×6371000²
    0.01227184×0.00382322985996542×40589641000000     		ar = 665838382.80462m²