Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3352 / 5368
↖ ↑ ↗
← S 48.690960°
W 32.695312°		 ← 3 225.67 m → S 48.690960°
W 32.651367°		 →
↑
3 224.75 m
↓
↑
3 224.75 m
↓
S 48.719961°
W 32.695312°		 ← 3 223.81 m →
10 398 978 m²		 S 48.719961°
W 32.651367°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3352 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5368 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.40924072265625 y=0.65533447265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.40924072265625 × 213)
    floor (0.40924072265625 × 8192)
    floor (3352.5)     		tx = 3352
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.65533447265625 × 213)
    floor (0.65533447265625 × 8192)
    floor (5368.5)     		ty = 5368
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3352 / 5368 ti = "13/3352/5368"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3352/5368.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3352 ÷ 213
    3352 ÷ 8192     		x = 0.4091796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5368 ÷ 213
    5368 ÷ 8192     		y = 0.6552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4091796875 × 2 - 1) × π
    -0.181640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.57064085
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6552734375 × 2 - 1) × π
    -0.310546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.975611781067383
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.57064085} λ = -0.57064085}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.975611781067383))-π/2
    2×atan(0.37696166499513)-π/2
    2×0.360489376016754-π/2
    0.720978752033509-1.57079632675     		φ = -0.84981757
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.57064085} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.695312°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84981757 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.690960°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3352 KachelY 5368 -0.57064085 -0.84981757 -32.695312 -48.690960
    Oben rechts KachelX + 1 3353 KachelY 5368 -0.56987386 -0.84981757 -32.651367 -48.690960
    Unten links KachelX 3352 KachelY + 1 5369 -0.57064085 -0.85032373 -32.695312 -48.719961
    Unten rechts KachelX + 1 3353 KachelY + 1 5369 -0.56987386 -0.85032373 -32.651367 -48.719961
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84981757--0.85032373) × R
    0.000506160000000033 × 6371000     		dl = 3224.74536000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84981757--0.85032373) × R
    0.000506160000000033 × 6371000     		dr = 3224.74536000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.57064085--0.56987386) × cos(-0.84981757) × R
    0.000766990000000023 × 0.66012019098618 × 6371000     		do = 3225.67288384758m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.57064085--0.56987386) × cos(-0.85032373) × R
    0.000766990000000023 × 0.65973989930019 × 6371000     		du = 3223.81459107575m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84981757)-sin(-0.85032373))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.66012019098618-0.65973989930019)×R²
    abs(-0.56987386--0.57064085)×0.000380291685989187×R²
    0.000766990000000023×0.000380291685989187×6371000²
    0.000766990000000023×0.000380291685989187×40589641000000     		ar = 10398977.6265827m²