Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 336 / 208
↖ ↑ ↗
← N 31.952162°
E 56.250000°		 ← 66.338 km → N 31.952162°
E 56.953125°		 →
↑
66.553 km
↓
↑
66.553 km
↓
N 31.353637°
E 56.250000°		 ← 66.767 km →
4 429.31 km²		 N 31.353637°
E 56.953125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 336 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 208 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6572265625 y=0.4072265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6572265625 × 29)
    floor (0.6572265625 × 512)
    floor (336.5)     		tx = 336
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4072265625 × 29)
    floor (0.4072265625 × 512)
    floor (208.5)     		ty = 208
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 336 / 208 ti = "9/336/208"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/336/208.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 336 ÷ 29
    336 ÷ 512     		x = 0.65625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 208 ÷ 29
    208 ÷ 512     		y = 0.40625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.65625 × 2 - 1) × π
    0.3125 × 3.1415926535     		Λ = 0.98174770
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.40625 × 2 - 1) × π
    0.1875 × 3.1415926535     		Φ = 0.58904862253125
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.98174770} λ = 0.98174770}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.58904862253125))-π/2
    2×atan(1.80227295761889)-π/2
    2×1.06423338048277-π/2
    2.12846676096555-1.57079632675     		φ = 0.55767043
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.98174770} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 56.250000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55767043 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.952162°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 336 KachelY 208 0.98174770 0.55767043 56.250000 31.952162
    Oben rechts KachelX + 1 337 KachelY 208 0.99401955 0.55767043 56.953125 31.952162
    Unten links KachelX 336 KachelY + 1 209 0.98174770 0.54722420 56.250000 31.353637
    Unten rechts KachelX + 1 337 KachelY + 1 209 0.99401955 0.54722420 56.953125 31.353637
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55767043-0.54722420) × R
    0.01044623 × 6371000     		dl = 66552.93133m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55767043-0.54722420) × R
    0.01044623 × 6371000     		dr = 66552.93133m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.98174770-0.99401955) × cos(0.55767043) × R
    0.01227185 × 0.848490246343458 × 6371000     		do = 66338.3243835175m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.98174770-0.99401955) × cos(0.54722420) × R
    0.01227185 × 0.853972111029799 × 6371000     		du = 66766.918252871m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55767043)-sin(0.54722420))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.848490246343458-0.853972111029799)×R²
    abs(0.99401955-0.98174770)×0.00548186468634038×R²
    0.01227185×0.00548186468634038×6371000²
    0.01227185×0.00548186468634038×40589641000000     		ar = 4429312315.08136m²