Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 336 / 80
↖ ↑ ↗
← N 76.840817°
E 56.250000°		 ← 17.799 km → N 76.840817°
E 56.953125°		 →
↑
17.906 km
↓
↑
17.906 km
↓
N 76.679785°
E 56.250000°		 ← 18.013 km →
320.625 km²		 N 76.679785°
E 56.953125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 336 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6572265625 y=0.1572265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6572265625 × 29)
    floor (0.6572265625 × 512)
    floor (336.5)     		tx = 336
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1572265625 × 29)
    floor (0.1572265625 × 512)
    floor (80.5)     		ty = 80
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 336 / 80 ti = "9/336/80"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/336/80.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 336 ÷ 29
    336 ÷ 512     		x = 0.65625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80 ÷ 29
    80 ÷ 512     		y = 0.15625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.65625 × 2 - 1) × π
    0.3125 × 3.1415926535     		Λ = 0.98174770
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15625 × 2 - 1) × π
    0.6875 × 3.1415926535     		Φ = 2.15984494928125
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.98174770} λ = 0.98174770}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15984494928125))-π/2
    2×atan(8.66979329656196)-π/2
    2×1.45596078656658-π/2
    2.91192157313317-1.57079632675     		φ = 1.34112525
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.98174770} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 56.250000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34112525 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.840817°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 336 KachelY 80 0.98174770 1.34112525 56.250000 76.840817
    Oben rechts KachelX + 1 337 KachelY 80 0.99401955 1.34112525 56.953125 76.840817
    Unten links KachelX 336 KachelY + 1 81 0.98174770 1.33831472 56.250000 76.679785
    Unten rechts KachelX + 1 337 KachelY + 1 81 0.99401955 1.33831472 56.953125 76.679785
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34112525-1.33831472) × R
    0.00281052999999987 × 6371000     		dl = 17905.8866299991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34112525-1.33831472) × R
    0.00281052999999987 × 6371000     		dr = 17905.8866299991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.98174770-0.99401955) × cos(1.34112525) × R
    0.01227185 × 0.227657249737119 × 6371000     		do = 17799.1444762079m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.98174770-0.99401955) × cos(1.33831472) × R
    0.01227185 × 0.230393076212091 × 6371000     		du = 18013.0422139083m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34112525)-sin(1.33831472))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.227657249737119-0.230393076212091)×R²
    abs(0.99401955-0.98174770)×0.00273582647497222×R²
    0.01227185×0.00273582647497222×6371000²
    0.01227185×0.00273582647497222×40589641000000     		ar = 320624688.476161m²