Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3360 / 288
↖ ↑ ↗
← N 82.308893°
E115.312500°		 ← 1 307.94 m → N 82.308893°
E115.400390°		 →
↑
1 308.92 m
↓
↑
1 308.92 m
↓
N 82.297121°
E115.312500°		 ← 1 309.93 m →
1 713 296 m²		 N 82.297121°
E115.400390°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3360 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 288 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.8204345703125 y=0.0704345703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.8204345703125 × 212)
    floor (0.8204345703125 × 4096)
    floor (3360.5)     		tx = 3360
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0704345703125 × 212)
    floor (0.0704345703125 × 4096)
    floor (288.5)     		ty = 288
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3360 / 288 ti = "12/3360/288"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3360/288.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3360 ÷ 212
    3360 ÷ 4096     		x = 0.8203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 288 ÷ 212
    288 ÷ 4096     		y = 0.0703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8203125 × 2 - 1) × π
    0.640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.01258279
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0703125 × 2 - 1) × π
    0.859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.69980618660156
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01258279} λ = 2.01258279}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.69980618660156))-π/2
    2×atan(14.8768481129497)-π/2
    2×1.50367875244878-π/2
    3.00735750489756-1.57079632675     		φ = 1.43656118
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01258279} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.312500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43656118 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.308893°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3360 KachelY 288 2.01258279 1.43656118 115.312500 82.308893
    Oben rechts KachelX + 1 3361 KachelY 288 2.01411677 1.43656118 115.400390 82.308893
    Unten links KachelX 3360 KachelY + 1 289 2.01258279 1.43635573 115.312500 82.297121
    Unten rechts KachelX + 1 3361 KachelY + 1 289 2.01411677 1.43635573 115.400390 82.297121
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43656118-1.43635573) × R
    0.00020544999999994 × 6371000     		dl = 1308.92194999962m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43656118-1.43635573) × R
    0.00020544999999994 × 6371000     		dr = 1308.92194999962m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01258279-2.01411677) × cos(1.43656118) × R
    0.0015339799999996 × 0.133832377654437 × 6371000     		do = 1307.94203078597m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01258279-2.01411677) × cos(1.43635573) × R
    0.0015339799999996 × 0.134035976596838 × 6371000     		du = 1309.93180051775m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43656118)-sin(1.43635573))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.133832377654437-0.134035976596838)×R²
    abs(2.01411677-2.01258279)×0.000203598942400851×R²
    0.0015339799999996×0.000203598942400851×6371000²
    0.0015339799999996×0.000203598942400851×40589641000000     		ar = 1713296.26608843m²