Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3360 / 5408
↖ ↑ ↗
← S 49.837983°
W 32.343750°		 ← 3 151.55 m → S 49.837983°
W 32.299805°		 →
↑
3 150.59 m
↓
↑
3 150.59 m
↓
S 49.866317°
W 32.343750°		 ← 3 149.70 m →
9 926 322 m²		 S 49.866317°
W 32.299805°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3360 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5408 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.41021728515625 y=0.66021728515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.41021728515625 × 213)
    floor (0.41021728515625 × 8192)
    floor (3360.5)     		tx = 3360
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.66021728515625 × 213)
    floor (0.66021728515625 × 8192)
    floor (5408.5)     		ty = 5408
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3360 / 5408 ti = "13/3360/5408"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3360/5408.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3360 ÷ 213
    3360 ÷ 8192     		x = 0.41015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5408 ÷ 213
    5408 ÷ 8192     		y = 0.66015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41015625 × 2 - 1) × π
    -0.1796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.56450493
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66015625 × 2 - 1) × π
    -0.3203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.00629139682422
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56450493} λ = -0.56450493}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00629139682422))-π/2
    2×atan(0.365572231021132)-π/2
    2×0.350479720227978-π/2
    0.700959440455956-1.57079632675     		φ = -0.86983689
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56450493} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.343750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86983689 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.837983°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3360 KachelY 5408 -0.56450493 -0.86983689 -32.343750 -49.837983
    Oben rechts KachelX + 1 3361 KachelY 5408 -0.56373794 -0.86983689 -32.299805 -49.837983
    Unten links KachelX 3360 KachelY + 1 5409 -0.56450493 -0.87033141 -32.343750 -49.866317
    Unten rechts KachelX + 1 3361 KachelY + 1 5409 -0.56373794 -0.87033141 -32.299805 -49.866317
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86983689--0.87033141) × R
    0.000494520000000054 × 6371000     		dl = 3150.58692000034m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86983689--0.87033141) × R
    0.000494520000000054 × 6371000     		dr = 3150.58692000034m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56450493--0.56373794) × cos(-0.86983689) × R
    0.000766990000000023 × 0.644951208354603 × 6371000     		do = 3151.54975200225m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56450493--0.56373794) × cos(-0.87033141) × R
    0.000766990000000023 × 0.644573205580134 × 6371000     		du = 3149.70264398121m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86983689)-sin(-0.87033141))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.644951208354603-0.644573205580134)×R²
    abs(-0.56373794--0.56450493)×0.000378002774468311×R²
    0.000766990000000023×0.000378002774468311×6371000²
    0.000766990000000023×0.000378002774468311×40589641000000     		ar = 9926321.89149147m²