Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3362 / 5410
↖ ↑ ↗
← S 49.894634°
W 32.255859°		 ← 3 147.86 m → S 49.894634°
W 32.211914°		 →
↑
3 146.96 m
↓
↑
3 146.96 m
↓
S 49.922936°
W 32.255859°		 ← 3 146.01 m →
9 903 257 m²		 S 49.922936°
W 32.211914°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3362 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5410 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.41046142578125 y=0.66046142578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.41046142578125 × 213)
    floor (0.41046142578125 × 8192)
    floor (3362.5)     		tx = 3362
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.66046142578125 × 213)
    floor (0.66046142578125 × 8192)
    floor (5410.5)     		ty = 5410
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3362 / 5410 ti = "13/3362/5410"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3362/5410.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3362 ÷ 213
    3362 ÷ 8192     		x = 0.410400390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5410 ÷ 213
    5410 ÷ 8192     		y = 0.660400390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.410400390625 × 2 - 1) × π
    -0.17919921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.56297095
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.660400390625 × 2 - 1) × π
    -0.32080078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.00782537761206
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56297095} λ = -0.56297095}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00782537761206))-π/2
    2×atan(0.365011880135804)-π/2
    2×0.34998533876454-π/2
    0.69997067752908-1.57079632675     		φ = -0.87082565
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56297095} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.255859°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87082565 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.894634°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3362 KachelY 5410 -0.56297095 -0.87082565 -32.255859 -49.894634
    Oben rechts KachelX + 1 3363 KachelY 5410 -0.56220396 -0.87082565 -32.211914 -49.894634
    Unten links KachelX 3362 KachelY + 1 5411 -0.56297095 -0.87131960 -32.255859 -49.922936
    Unten rechts KachelX + 1 3363 KachelY + 1 5411 -0.56220396 -0.87131960 -32.211914 -49.922936
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87082565--0.87131960) × R
    0.000493949999999965 × 6371000     		dl = 3146.95544999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87082565--0.87131960) × R
    0.000493949999999965 × 6371000     		dr = 3146.95544999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56297095--0.56220396) × cos(-0.87082565) × R
    0.000766990000000023 × 0.644195259336399 × 6371000     		do = 3147.85581219722m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56297095--0.56220396) × cos(-0.87131960) × R
    0.000766990000000023 × 0.643817377635035 × 6371000     		du = 3146.00929579909m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87082565)-sin(-0.87131960))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.644195259336399-0.643817377635035)×R²
    abs(-0.56220396--0.56297095)×0.000377881701364324×R²
    0.000766990000000023×0.000377881701364324×6371000²
    0.000766990000000023×0.000377881701364324×40589641000000     		ar = 9903256.75294076m²