Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 3368 / 5416
↖ ↑ ↗
← S 50.064192°
W 31.992188°		 ← 3 136.78 m → S 50.064192°
W 31.948242°		 →
↑
3 135.87 m
↓
↑
3 135.87 m
↓
S 50.092393°
W 31.992188°		 ← 3 134.94 m →
9 833 647 m²		 S 50.092393°
W 31.948242°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3368 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5416 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.41119384765625 y=0.66119384765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.41119384765625 × 213)
    floor (0.41119384765625 × 8192)
    floor (3368.5)     		tx = 3368
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.66119384765625 × 213)
    floor (0.66119384765625 × 8192)
    floor (5416.5)     		ty = 5416
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3368 / 5416 ti = "13/3368/5416"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3368/5416.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3368 ÷ 213
    3368 ÷ 8192     		x = 0.4111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5416 ÷ 213
    5416 ÷ 8192     		y = 0.6611328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4111328125 × 2 - 1) × π
    -0.177734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.55836901
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6611328125 × 2 - 1) × π
    -0.322265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.01242731997559
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55836901} λ = -0.55836901}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.01242731997559))-π/2
    2×atan(0.363335975666976)-π/2
    2×0.348505671829517-π/2
    0.697011343659033-1.57079632675     		φ = -0.87378498
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55836901} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.992188°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87378498 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.064192°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3368 KachelY 5416 -0.55836901 -0.87378498 -31.992188 -50.064192
    Oben rechts KachelX + 1 3369 KachelY 5416 -0.55760202 -0.87378498 -31.948242 -50.064192
    Unten links KachelX 3368 KachelY + 1 5417 -0.55836901 -0.87427719 -31.992188 -50.092393
    Unten rechts KachelX + 1 3369 KachelY + 1 5417 -0.55760202 -0.87427719 -31.948242 -50.092393
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87378498--0.87427719) × R
    0.000492209999999993 × 6371000     		dl = 3135.86990999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87378498--0.87427719) × R
    0.000492209999999993 × 6371000     		dr = 3135.86990999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55836901--0.55760202) × cos(-0.87378498) × R
    0.000766990000000023 × 0.641928965496643 × 6371000     		do = 3136.78158255608m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55836901--0.55760202) × cos(-0.87427719) × R
    0.000766990000000023 × 0.641551478788094 × 6371000     		du = 3134.93699628769m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87378498)-sin(-0.87427719))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.641928965496643-0.641551478788094)×R²
    abs(-0.55760202--0.55836901)×0.000377486708549091×R²
    0.000766990000000023×0.000377486708549091×6371000²
    0.000766990000000023×0.000377486708549091×40589641000000     		ar = 9833646.98622463m²