Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 337 / 463
↖ ↑ ↗
← S 80.983688°
E 56.953125°		 ← 12.253 km → S 80.983688°
E 57.656250°		 →
↑
12.179 km
↓
↑
12.179 km
↓
S 81.093214°
E 56.953125°		 ← 12.105 km →
148.322 km²		 S 81.093214°
E 57.656250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 337 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 463 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6591796875 y=0.9052734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6591796875 × 29)
    floor (0.6591796875 × 512)
    floor (337.5)     		tx = 337
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.9052734375 × 29)
    floor (0.9052734375 × 512)
    floor (463.5)     		ty = 463
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 337 / 463 ti = "9/337/463"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/337/463.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 337 ÷ 29
    337 ÷ 512     		x = 0.658203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 463 ÷ 29
    463 ÷ 512     		y = 0.904296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.658203125 × 2 - 1) × π
    0.31640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.99401955
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.904296875 × 2 - 1) × π
    -0.80859375 × 3.1415926535     		Φ = -2.54027218466602
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.99401955} λ = 0.99401955}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.54027218466602))-π/2
    2×atan(0.0788449364871116)-π/2
    2×0.0786821627091556-π/2
    0.157364325418311-1.57079632675     		φ = -1.41343200
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.99401955} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 56.953125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41343200 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.983688°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 337 KachelY 463 0.99401955 -1.41343200 56.953125 -80.983688
    Oben rechts KachelX + 1 338 KachelY 463 1.00629140 -1.41343200 57.656250 -80.983688
    Unten links KachelX 337 KachelY + 1 464 0.99401955 -1.41534358 56.953125 -81.093214
    Unten rechts KachelX + 1 338 KachelY + 1 464 1.00629140 -1.41534358 57.656250 -81.093214
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41343200--1.41534358) × R
    0.00191158000000002 × 6371000     		dl = 12178.6761800002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41343200--1.41534358) × R
    0.00191158000000002 × 6371000     		dr = 12178.6761800002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.99401955-1.00629140) × cos(-1.41343200) × R
    0.0122718500000001 × 0.156715647755291 × 6371000     		do = 12252.6493634618m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.99401955-1.00629140) × cos(-1.41534358) × R
    0.0122718500000001 × 0.154827402507351 × 6371000     		du = 12105.0188794187m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41343200)-sin(-1.41534358))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156715647755291-0.154827402507351)×R²
    abs(1.00629140-0.99401955)×0.00188824524794087×R²
    0.0122718500000001×0.00188824524794087×6371000²
    0.0122718500000001×0.00188824524794087×40589641000000     		ar = 148322122.180776m²