Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3376 / 5424
↖ ↑ ↗
← S 50.289339°
W 31.640625°		 ← 3 122.03 m → S 50.289339°
W 31.596680°		 →
↑
3 121.09 m
↓
↑
3 121.09 m
↓
S 50.317408°
W 31.640625°		 ← 3 120.19 m →
9 741 273 m²		 S 50.317408°
W 31.596680°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3376 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5424 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.41217041015625 y=0.66217041015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.41217041015625 × 213)
    floor (0.41217041015625 × 8192)
    floor (3376.5)     		tx = 3376
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.66217041015625 × 213)
    floor (0.66217041015625 × 8192)
    floor (5424.5)     		ty = 5424
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3376 / 5424 ti = "13/3376/5424"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3376/5424.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3376 ÷ 213
    3376 ÷ 8192     		x = 0.412109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5424 ÷ 213
    5424 ÷ 8192     		y = 0.662109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412109375 × 2 - 1) × π
    -0.17578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.55223308
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.662109375 × 2 - 1) × π
    -0.32421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.01856324312695
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55223308} λ = -0.55223308}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.01856324312695))-π/2
    2×atan(0.361113399792782)-π/2
    2×0.346540889095564-π/2
    0.693081778191129-1.57079632675     		φ = -0.87771455
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55223308} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.640625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87771455 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.289339°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3376 KachelY 5424 -0.55223308 -0.87771455 -31.640625 -50.289339
    Oben rechts KachelX + 1 3377 KachelY 5424 -0.55146609 -0.87771455 -31.596680 -50.289339
    Unten links KachelX 3376 KachelY + 1 5425 -0.55223308 -0.87820444 -31.640625 -50.317408
    Unten rechts KachelX + 1 3377 KachelY + 1 5425 -0.55146609 -0.87820444 -31.596680 -50.317408
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87771455--0.87820444) × R
    0.000489889999999993 × 6371000     		dl = 3121.08918999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87771455--0.87820444) × R
    0.000489889999999993 × 6371000     		dr = 3121.08918999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55223308--0.55146609) × cos(-0.87771455) × R
    0.000766990000000023 × 0.638910963826672 × 6371000     		do = 3122.03413764656m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55223308--0.55146609) × cos(-0.87820444) × R
    0.000766990000000023 × 0.638534024257602 × 6371000     		du = 3120.19222497156m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87771455)-sin(-0.87820444))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.638910963826672-0.638534024257602)×R²
    abs(-0.55146609--0.55223308)×0.000376939569070367×R²
    0.000766990000000023×0.000376939569070367×6371000²
    0.000766990000000023×0.000376939569070367×40589641000000     		ar = 9741272.80576921m²