Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 33788 / 33796
↖ ↑ ↗
← S  5.637853°
E  5.603028°		 ← 607.83 m → S  5.637853°
E  5.608521°		 →
↑
607.86 m
↓
↑
607.86 m
↓
S  5.643319°
E  5.603028°		 ← 607.83 m →
369 474 m²		 S  5.643319°
E  5.608521°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33788 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33796 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515571594238281 y=0.515693664550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515571594238281 × 216)
    floor (0.515571594238281 × 65536)
    floor (33788.5)     		tx = 33788
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.515693664550781 × 216)
    floor (0.515693664550781 × 65536)
    floor (33796.5)     		ty = 33796
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33788 / 33796 ti = "16/33788/33796"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33788/33796.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33788 ÷ 216
    33788 ÷ 65536     		x = 0.51556396484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33796 ÷ 216
    33796 ÷ 65536     		y = 0.51568603515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51556396484375 × 2 - 1) × π
    0.0311279296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.09779128
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.51568603515625 × 2 - 1) × π
    -0.0313720703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0985582656188354
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09779128} λ = 0.09779128}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0985582656188354))-π/2
    2×atan(0.906142894099639)-π/2
    2×0.736198618103515-π/2
    1.47239723620703-1.57079632675     		φ = -0.09839909
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09779128} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.603028°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.09839909 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -5.637853°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33788 KachelY 33796 0.09779128 -0.09839909 5.603028 -5.637853
    Oben rechts KachelX + 1 33789 KachelY 33796 0.09788715 -0.09839909 5.608521 -5.637853
    Unten links KachelX 33788 KachelY + 1 33797 0.09779128 -0.09849450 5.603028 -5.643319
    Unten rechts KachelX + 1 33789 KachelY + 1 33797 0.09788715 -0.09849450 5.608521 -5.643319
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.09839909--0.09849450) × R
    9.54100000000041e-05 × 6371000     		dl = 607.857110000026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.09839909--0.09849450) × R
    9.54100000000041e-05 × 6371000     		dr = 607.857110000026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09779128-0.09788715) × cos(-0.09839909) × R
    9.58700000000118e-05 × 0.995162714470603 × 6371000     		do = 607.833215158721m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09779128-0.09788715) × cos(-0.09849450) × R
    9.58700000000118e-05 × 0.995153336826704 × 6371000     		du = 607.827487408516m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.09839909)-sin(-0.09849450))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.995162714470603-0.995153336826704)×R²
    abs(0.09788715-0.09779128)×9.37764389874474e-06×R²
    9.58700000000118e-05×9.37764389874474e-06×6371000²
    9.58700000000118e-05×9.37764389874474e-06×40589641000000     		ar = 369474.000981862m²