Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33792 / 29696
↖ ↑ ↗
← N 16.636192°
E  5.625000°		 ← 585.22 m → N 16.636192°
E  5.630493°		 →
↑
585.24 m
↓
↑
585.24 m
↓
N 16.630929°
E  5.625000°		 ← 585.24 m →
342 500 m²		 N 16.630929°
E  5.630493°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33792 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29696 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515632629394531 y=0.453132629394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515632629394531 × 216)
    floor (0.515632629394531 × 65536)
    floor (33792.5)     		tx = 33792
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.453132629394531 × 216)
    floor (0.453132629394531 × 65536)
    floor (29696.5)     		ty = 29696
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33792 / 29696 ti = "16/33792/29696"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33792/29696.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33792 ÷ 216
    33792 ÷ 65536     		x = 0.515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29696 ÷ 216
    29696 ÷ 65536     		y = 0.453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.515625 × 2 - 1) × π
    0.03125 × 3.1415926535     		Λ = 0.09817477
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.453125 × 2 - 1) × π
    0.09375 × 3.1415926535     		Φ = 0.294524311265625
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09817477} λ = 0.09817477}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.294524311265625))-π/2
    2×atan(1.34248760054568)-π/2
    2×0.930576325029205-π/2
    1.86115265005841-1.57079632675     		φ = 0.29035632
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09817477} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.625000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.29035632 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.636192°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33792 KachelY 29696 0.09817477 0.29035632 5.625000 16.636192
    Oben rechts KachelX + 1 33793 KachelY 29696 0.09827064 0.29035632 5.630493 16.636192
    Unten links KachelX 33792 KachelY + 1 29697 0.09817477 0.29026446 5.625000 16.630929
    Unten rechts KachelX + 1 33793 KachelY + 1 29697 0.09827064 0.29026446 5.630493 16.630929
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.29035632-0.29026446) × R
    9.18599999999992e-05 × 6371000     		dl = 585.240059999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.29035632-0.29026446) × R
    9.18599999999992e-05 × 6371000     		dr = 585.240059999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09817477-0.09827064) × cos(0.29035632) × R
    9.58700000000118e-05 × 0.958141924186794 × 6371000     		do = 585.221369217633m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09817477-0.09827064) × cos(0.29026446) × R
    9.58700000000118e-05 × 0.958168219078775 × 6371000     		du = 585.237429816068m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.29035632)-sin(0.29026446))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.958141924186794-0.958168219078775)×R²
    abs(0.09827064-0.09817477)×2.62948919801387e-05×R²
    9.58700000000118e-05×2.62948919801387e-05×6371000²
    9.58700000000118e-05×2.62948919801387e-05×40589641000000     		ar = 342499.689127852m²