Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33796 / 33788
↖ ↑ ↗
← S  5.594118°
E  5.646973°		 ← 607.88 m → S  5.594118°
E  5.652466°		 →
↑
607.92 m
↓
↑
607.92 m
↓
S  5.599585°
E  5.646973°		 ← 607.87 m →
369 540 m²		 S  5.599585°
E  5.652466°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33796 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33788 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515693664550781 y=0.515571594238281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515693664550781 × 216)
    floor (0.515693664550781 × 65536)
    floor (33796.5)     		tx = 33796
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.515571594238281 × 216)
    floor (0.515571594238281 × 65536)
    floor (33788.5)     		ty = 33788
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33796 / 33788 ti = "16/33796/33788"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33796/33788.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33796 ÷ 216
    33796 ÷ 65536     		x = 0.51568603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33788 ÷ 216
    33788 ÷ 65536     		y = 0.51556396484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51568603515625 × 2 - 1) × π
    0.0313720703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.09855827
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.51556396484375 × 2 - 1) × π
    -0.0311279296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.0977912752249146
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09855827} λ = 0.09855827}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0977912752249146))-π/2
    2×atan(0.90683816359336)-π/2
    2×0.736580272566169-π/2
    1.47316054513234-1.57079632675     		φ = -0.09763578
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09855827} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.646973°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.09763578 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -5.594118°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33796 KachelY 33788 0.09855827 -0.09763578 5.646973 -5.594118
    Oben rechts KachelX + 1 33797 KachelY 33788 0.09865414 -0.09763578 5.652466 -5.594118
    Unten links KachelX 33796 KachelY + 1 33789 0.09855827 -0.09773120 5.646973 -5.599585
    Unten rechts KachelX + 1 33797 KachelY + 1 33789 0.09865414 -0.09773120 5.652466 -5.599585
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.09763578--0.09773120) × R
    9.54199999999988e-05 × 6371000     		dl = 607.920819999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.09763578--0.09773120) × R
    9.54199999999988e-05 × 6371000     		dr = 607.920819999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09855827-0.09865414) × cos(-0.09763578) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.99523741241384 × 6371000     		do = 607.878839748806m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09855827-0.09865414) × cos(-0.09773120) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.995228106271688 × 6371000     		du = 607.873155670994m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.09763578)-sin(-0.09773120))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99523741241384-0.995228106271688)×R²
    abs(0.09865414-0.09855827)×9.30614215211012e-06×R²
    9.58699999999979e-05×9.30614215211012e-06×6371000²
    9.58699999999979e-05×9.30614215211012e-06×40589641000000     		ar = 369540.475266491m²