Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33808 / 35856
↖ ↑ ↗
← S 16.720385°
E  5.712891°		 ← 585.02 m → S 16.720385°
E  5.718384°		 →
↑
584.99 m
↓
↑
584.99 m
↓
S 16.725646°
E  5.712891°		 ← 585.01 m →
342 226 m²		 S 16.725646°
E  5.718384°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33808 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35856 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515876770019531 y=0.547126770019531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515876770019531 × 216)
    floor (0.515876770019531 × 65536)
    floor (33808.5)     		tx = 33808
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.547126770019531 × 216)
    floor (0.547126770019531 × 65536)
    floor (35856.5)     		ty = 35856
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33808 / 35856 ti = "16/33808/35856"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33808/35856.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33808 ÷ 216
    33808 ÷ 65536     		x = 0.515869140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35856 ÷ 216
    35856 ÷ 65536     		y = 0.547119140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.515869140625 × 2 - 1) × π
    0.03173828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.09970875
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.547119140625 × 2 - 1) × π
    -0.09423828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.296058292053467
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09970875} λ = 0.09970875}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.296058292053467))-π/2
    2×atan(0.743744072387314)-π/2
    2×0.639485277724849-π/2
    1.2789705554497-1.57079632675     		φ = -0.29182577
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09970875} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.712891°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.29182577 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -16.720385°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33808 KachelY 35856 0.09970875 -0.29182577 5.712891 -16.720385
    Oben rechts KachelX + 1 33809 KachelY 35856 0.09980463 -0.29182577 5.718384 -16.720385
    Unten links KachelX 33808 KachelY + 1 35857 0.09970875 -0.29191759 5.712891 -16.725646
    Unten rechts KachelX + 1 33809 KachelY + 1 35857 0.09980463 -0.29191759 5.718384 -16.725646
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.29182577--0.29191759) × R
    9.18200000000202e-05 × 6371000     		dl = 584.985220000129m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.29182577--0.29191759) × R
    9.18200000000202e-05 × 6371000     		dr = 584.985220000129m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09970875-0.09980463) × cos(-0.29182577) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.957720195686806 × 6371000     		do = 585.024798961215m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09970875-0.09980463) × cos(-0.29191759) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.957693774918044 × 6371000     		du = 585.008659795514m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.29182577)-sin(-0.29191759))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.957720195686806-0.957693774918044)×R²
    abs(0.09980463-0.09970875)×2.64207687615814e-05×R²
    9.58800000000065e-05×2.64207687615814e-05×6371000²
    9.58800000000065e-05×2.64207687615814e-05×40589641000000     		ar = 342226.140379553m²