Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33809 / 33807
↖ ↑ ↗
← S  5.697982°
E  5.718384°		 ← 607.77 m → S  5.697982°
E  5.723877°		 →
↑
607.79 m
↓
↑
607.79 m
↓
S  5.703448°
E  5.718384°		 ← 607.76 m →
369 397 m²		 S  5.703448°
E  5.723877°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33809 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33807 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515892028808594 y=0.515861511230469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515892028808594 × 216)
    floor (0.515892028808594 × 65536)
    floor (33809.5)     		tx = 33809
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.515861511230469 × 216)
    floor (0.515861511230469 × 65536)
    floor (33807.5)     		ty = 33807
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33809 / 33807 ti = "16/33809/33807"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33809/33807.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33809 ÷ 216
    33809 ÷ 65536     		x = 0.515884399414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33807 ÷ 216
    33807 ÷ 65536     		y = 0.515853881835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.515884399414062 × 2 - 1) × π
    0.031768798828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.09980463
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.515853881835938 × 2 - 1) × π
    -0.031707763671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.0996128774104767
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09980463} λ = 0.09980463}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0996128774104767))-π/2
    2×atan(0.905187768850309)-π/2
    2×0.735673890216037-π/2
    1.47134778043207-1.57079632675     		φ = -0.09944855
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09980463} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.718384°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.09944855 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -5.697982°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33809 KachelY 33807 0.09980463 -0.09944855 5.718384 -5.697982
    Oben rechts KachelX + 1 33810 KachelY 33807 0.09990050 -0.09944855 5.723877 -5.697982
    Unten links KachelX 33809 KachelY + 1 33808 0.09980463 -0.09954395 5.718384 -5.703448
    Unten rechts KachelX + 1 33810 KachelY + 1 33808 0.09990050 -0.09954395 5.723877 -5.703448
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.09944855--0.09954395) × R
    9.54000000000094e-05 × 6371000     		dl = 607.79340000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.09944855--0.09954395) × R
    9.54000000000094e-05 × 6371000     		dr = 607.79340000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09980463-0.09990050) × cos(-0.09944855) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.995059067123907 × 6371000     		do = 607.769908626878m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09980463-0.09990050) × cos(-0.09954395) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.995049590834831 × 6371000     		du = 607.764120625405m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.09944855)-sin(-0.09954395))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.995059067123907-0.995049590834831)×R²
    abs(0.09990050-0.09980463)×9.47628907665976e-06×R²
    9.58699999999979e-05×9.47628907665976e-06×6371000²
    9.58699999999979e-05×9.47628907665976e-06×40589641000000     		ar = 369396.780507654m²