Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33832 / 33832
↖ ↑ ↗
← S  5.834616°
E  5.844726°		 ← 607.69 m → S  5.834616°
E  5.850220°		 →
↑
607.67 m
↓
↑
607.67 m
↓
S  5.840081°
E  5.844726°		 ← 607.68 m →
369 269 m²		 S  5.840081°
E  5.850220°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33832 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33832 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516242980957031 y=0.516242980957031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516242980957031 × 216)
    floor (0.516242980957031 × 65536)
    floor (33832.5)     		tx = 33832
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.516242980957031 × 216)
    floor (0.516242980957031 × 65536)
    floor (33832.5)     		ty = 33832
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33832 / 33832 ti = "16/33832/33832"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33832/33832.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33832 ÷ 216
    33832 ÷ 65536     		x = 0.5162353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33832 ÷ 216
    33832 ÷ 65536     		y = 0.5162353515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5162353515625 × 2 - 1) × π
    0.032470703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.10200972
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5162353515625 × 2 - 1) × π
    -0.032470703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.102009722391479
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10200972} λ = 0.10200972}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.102009722391479))-π/2
    2×atan(0.903020772104737)-π/2
    2×0.734481532058908-π/2
    1.46896306411782-1.57079632675     		φ = -0.10183326
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10200972} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.844726°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.10183326 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -5.834616°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33832 KachelY 33832 0.10200972 -0.10183326 5.844726 -5.834616
    Oben rechts KachelX + 1 33833 KachelY 33832 0.10210560 -0.10183326 5.850220 -5.834616
    Unten links KachelX 33832 KachelY + 1 33833 0.10200972 -0.10192864 5.844726 -5.840081
    Unten rechts KachelX + 1 33833 KachelY + 1 33833 0.10210560 -0.10192864 5.850220 -5.840081
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.10183326--0.10192864) × R
    9.5380000000006e-05 × 6371000     		dl = 607.665980000038m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.10183326--0.10192864) × R
    9.5380000000006e-05 × 6371000     		dr = 607.665980000038m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10200972-0.10210560) × cos(-0.10183326) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.994819472745602 × 6371000     		do = 607.686947259512m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10200972-0.10210560) × cos(-0.10192864) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.994809772142542 × 6371000     		du = 607.681021631776m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.10183326)-sin(-0.10192864))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.994819472745602-0.994809772142542)×R²
    abs(0.10210560-0.10200972)×9.70060305960363e-06×R²
    9.58800000000065e-05×9.70060305960363e-06×6371000²
    9.58800000000065e-05×9.70060305960363e-06×40589641000000     		ar = 369268.884218432m²