Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33840 / 33776
↖ ↑ ↗
← S  5.528510°
E  5.888672°		 ← 608.01 m → S  5.528510°
E  5.894165°		 →
↑
607.98 m
↓
↑
607.98 m
↓
S  5.533978°
E  5.888672°		 ← 608 m →
369 659 m²		 S  5.533978°
E  5.894165°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33840 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33776 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516365051269531 y=0.515388488769531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516365051269531 × 216)
    floor (0.516365051269531 × 65536)
    floor (33840.5)     		tx = 33840
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.515388488769531 × 216)
    floor (0.515388488769531 × 65536)
    floor (33776.5)     		ty = 33776
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33840 / 33776 ti = "16/33840/33776"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33840/33776.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33840 ÷ 216
    33840 ÷ 65536     		x = 0.516357421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33776 ÷ 216
    33776 ÷ 65536     		y = 0.515380859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516357421875 × 2 - 1) × π
    0.03271484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.10277671
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.515380859375 × 2 - 1) × π
    -0.03076171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.0966407896340332
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10277671} λ = 0.10277671}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0966407896340332))-π/2
    2×atan(0.907882068217305)-π/2
    2×0.737152807696572-π/2
    1.47430561539314-1.57079632675     		φ = -0.09649071
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10277671} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.888672°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.09649071 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -5.528510°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33840 KachelY 33776 0.10277671 -0.09649071 5.888672 -5.528510
    Oben rechts KachelX + 1 33841 KachelY 33776 0.10287259 -0.09649071 5.894165 -5.528510
    Unten links KachelX 33840 KachelY + 1 33777 0.10277671 -0.09658614 5.888672 -5.533978
    Unten rechts KachelX + 1 33841 KachelY + 1 33777 0.10287259 -0.09658614 5.894165 -5.533978
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.09649071--0.09658614) × R
    9.54300000000075e-05 × 6371000     		dl = 607.984530000047m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.09649071--0.09658614) × R
    9.54300000000075e-05 × 6371000     		dr = 607.984530000047m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10277671-0.10287259) × cos(-0.09649071) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.99534838217992 × 6371000     		do = 608.010032370251m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10277671-0.10287259) × cos(-0.09658614) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.995339183821184 × 6371000     		du = 608.004413539203m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.09649071)-sin(-0.09658614))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99534838217992-0.995339183821184)×R²
    abs(0.10287259-0.10277671)×9.19835873658403e-06×R²
    9.58800000000065e-05×9.19835873658403e-06×6371000²
    9.58800000000065e-05×9.19835873658403e-06×40589641000000     		ar = 369658.985965335m²