Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3392 / 5441
↖ ↑ ↗
← S 50.764259°
W 30.937500°		 ← 3 090.77 m → S 50.764259°
W 30.893555°		 →
↑
3 089.87 m
↓
↑
3 089.87 m
↓
S 50.792047°
W 30.937500°		 ← 3 088.93 m →
9 547 241 m²		 S 50.792047°
W 30.893555°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3392 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5441 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.41412353515625 y=0.66424560546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.41412353515625 × 213)
    floor (0.41412353515625 × 8192)
    floor (3392.5)     		tx = 3392
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.66424560546875 × 213)
    floor (0.66424560546875 × 8192)
    floor (5441.5)     		ty = 5441
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3392 / 5441 ti = "13/3392/5441"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3392/5441.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3392 ÷ 213
    3392 ÷ 8192     		x = 0.4140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5441 ÷ 213
    5441 ÷ 8192     		y = 0.6641845703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4140625 × 2 - 1) × π
    -0.171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.53996124
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6641845703125 × 2 - 1) × π
    -0.328369140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.03160207982361
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53996124} λ = -0.53996124}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03160207982361))-π/2
    2×atan(0.356435464833861)-π/2
    2×0.342396429347762-π/2
    0.684792858695524-1.57079632675     		φ = -0.88600347
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53996124} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.937500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88600347 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.764259°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3392 KachelY 5441 -0.53996124 -0.88600347 -30.937500 -50.764259
    Oben rechts KachelX + 1 3393 KachelY 5441 -0.53919425 -0.88600347 -30.893555 -50.764259
    Unten links KachelX 3392 KachelY + 1 5442 -0.53996124 -0.88648846 -30.937500 -50.792047
    Unten rechts KachelX + 1 3393 KachelY + 1 5442 -0.53919425 -0.88648846 -30.893555 -50.792047
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88600347--0.88648846) × R
    0.000484990000000018 × 6371000     		dl = 3089.87129000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88600347--0.88648846) × R
    0.000484990000000018 × 6371000     		dr = 3089.87129000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53996124--0.53919425) × cos(-0.88600347) × R
    0.000766990000000023 × 0.632512582300562 × 6371000     		do = 3090.76848925236m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53996124--0.53919425) × cos(-0.88648846) × R
    0.000766990000000023 × 0.632136858881542 × 6371000     		du = 3088.93251928642m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88600347)-sin(-0.88648846))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.632512582300562-0.632136858881542)×R²
    abs(-0.53919425--0.53996124)×0.000375723419019813×R²
    0.000766990000000023×0.000375723419019813×6371000²
    0.000766990000000023×0.000375723419019813×40589641000000     		ar = 9547240.55067503m²