Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 340 / 468
↖ ↑ ↗
← S 81.518272°
E 59.062500°		 ← 11.532 km → S 81.518272°
E 59.765625°		 →
↑
11.462 km
↓
↑
11.462 km
↓
S 81.621352°
E 59.062500°		 ← 11.393 km →
131.379 km²		 S 81.621352°
E 59.765625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 340 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 468 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6650390625 y=0.9150390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6650390625 × 29)
    floor (0.6650390625 × 512)
    floor (340.5)     		tx = 340
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.9150390625 × 29)
    floor (0.9150390625 × 512)
    floor (468.5)     		ty = 468
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 340 / 468 ti = "9/340/468"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/340/468.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 340 ÷ 29
    340 ÷ 512     		x = 0.6640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 468 ÷ 29
    468 ÷ 512     		y = 0.9140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6640625 × 2 - 1) × π
    0.328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.03083509
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9140625 × 2 - 1) × π
    -0.828125 × 3.1415926535     		Φ = -2.60163141617969
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.03083509} λ = 1.03083509}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.60163141617969))-π/2
    2×atan(0.0741525058836444)-π/2
    2×0.0740170410122265-π/2
    0.148034082024453-1.57079632675     		φ = -1.42276224
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.03083509} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 59.062500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42276224 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.518272°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 340 KachelY 468 1.03083509 -1.42276224 59.062500 -81.518272
    Oben rechts KachelX + 1 341 KachelY 468 1.04310694 -1.42276224 59.765625 -81.518272
    Unten links KachelX 340 KachelY + 1 469 1.03083509 -1.42456133 59.062500 -81.621352
    Unten rechts KachelX + 1 341 KachelY + 1 469 1.04310694 -1.42456133 59.765625 -81.621352
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42276224--1.42456133) × R
    0.00179909 × 6371000     		dl = 11462.00239m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42276224--1.42456133) × R
    0.00179909 × 6371000     		dr = 11462.00239m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.03083509-1.04310694) × cos(-1.42276224) × R
    0.0122718499999999 × 0.147494006831501 × 6371000     		do = 11531.6649920006m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.03083509-1.04310694) × cos(-1.42456133) × R
    0.0122718499999999 × 0.145714355831018 × 6371000     		du = 11392.5248358605m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42276224)-sin(-1.42456133))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.147494006831501-0.145714355831018)×R²
    abs(1.04310694-1.03083509)×0.0017796510004833×R²
    0.0122718499999999×0.0017796510004833×6371000²
    0.0122718499999999×0.0017796510004833×40589641000000     		ar = 131378594.734265m²